Упр.83 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (x+3)/x;
2) (a2-2a-5)/(a-2). Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение (a2-6)/(a-2)4 — (7a-4)/(a-2)4 + (3a+6)/(a-2)4 принимает положительные значения.

1) Разложим дробь на сумму целого и дробного выражений:

$$
\frac{x+3}{x}=\frac{x}{x}+\frac{3}{x}=1+\frac{3}{x}.
$$

2) Аналогично:

$$
\frac{a^2-2a-5}{a-2}=\frac{a(a-2)-5}{a-2}=\frac{a(a-2)}{a-2}-\frac{5}{a-2}=a-\frac{5}{a-2}.
$$

3) Упростим выражение:

$$
\frac{a^2-6}{(a-2)^4}-\frac{7a-4}{(a-2)^4}+\frac{3a+6}{(a-2)^4}
=
\frac{a^2-6-7a+4+3a+6}{(a-2)^4}.
$$

Тогда

$$
\frac{a^2-6-7a+4+3a+6}{(a-2)^4}
=
\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4}
=
\frac{(a-2)^2}{(a-2)^4}
=
\frac{1}{(a-2)^2}.
$$

При допустимых значениях переменной $$a \ne 2$$, поэтому $$ (a-2)^2>0 $$ и, следовательно,

$$
\frac{1}{(a-2)^2}>0.
$$

Ответ

1) $$1+\frac{3}{x}$$;

2) $$a-\frac{5}{a-2}$$;

выражение равно $$\frac{1}{(a-2)^2}$$ и при $$a \ne 2$$ принимает положительные значения.