Упр.829 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(корень 6 + 2)/(корень 6 — 2) — (корень 6 — 2)/(корень 6 + 2)? Автобус должен был проехать расстояние между двумя городами, равное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами?

1) Найдём значение выражения:

$$
\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}-\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}
=
\frac{(\sqrt{6}+2)^2-(\sqrt{6}-2)^2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}
$$

$$
=
\frac{(6+4\sqrt{6}+4)-(6-4\sqrt{6}+4)}{6-4}
=
\frac{8\sqrt{6}}{2}
=
4\sqrt{6}
$$

Так как $$\sqrt{6}$$ — иррациональное число, то и $$4\sqrt{6}$$ — иррациональное.

2) Пусть автобус должен был ехать со скоростью $$x$$ км/ч. Тогда после остановки он ехал со скоростью $$x+10$$ км/ч.

По плану время в пути равно $$\frac{400}{x}$$ ч.

За первые 2 ч автобус проехал $$2x$$ км, значит осталось проехать $$400-2x$$ км.

Остановка длилась $$20$$ мин $$=\frac{1}{3}$$ ч, поэтому составим уравнение:

$$
2+\frac{1}{3}+\frac{400-2x}{x+10}=\frac{400}{x}
$$

Умножим на $$3x(x+10)$$:

$$
7x(x+10)+3x(400-2x)-400\cdot 3(x+10)=0
$$

$$
7x^2+70x+1200x-6x^2-1200x-12000=0
$$

$$
x^2+70x-12000=0
$$

$$
D=70^2+4\cdot 12000=4900+48000=52900
$$

$$
\sqrt{D}=230
$$

$$
x=\frac{-70\pm 230}{2}
$$

$$
x_1=-150 \quad \text{не подходит}, \qquad x_2=80
$$

Ответ

$$4\sqrt{6}$$ — иррациональное число; $$80$$ км/ч.