Упр.828 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

(a-1)2 * (1/(a2-1) + 1/(a2-2a+1)) + 2/(a+1)
является положительным? Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одно временно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?

1) Упростим выражение:

$$
(a-1)^2\left(\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-2a+1}\right)+\frac{2}{a+1}.
$$

Разложим знаменатели на множители:

$$
a^2-1=(a-1)(a+1), \qquad a^2-2a+1=(a-1)^2.
$$

Тогда

$$
(a-1)^2\left(\frac{1}{(a-1)(a+1)}+\frac{1}{(a-1)^2}\right)+\frac{2}{a+1}.
$$

Приведём к общему знаменателю в скобках:

$$
(a-1)^2\cdot \frac{a-1+a+1}{(a-1)^2(a+1)}+\frac{2}{a+1}
=
(a-1)^2\cdot \frac{2a}{(a-1)^2(a+1)}+\frac{2}{a+1}.
$$

Сокращаем:

$$
\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}
=
\frac{2a+2}{a+1}
=
\frac{2(a+1)}{a+1}
=2.
$$

При всех допустимых значениях переменной выражение равно $2$, значит оно положительное.

2) Пусть $x$ часов требуется для наполнения бассейна через первую трубу. Тогда через вторую трубу потребуется $x+2$ часа, а через третью — $x+8$ часов.

За 1 час первая труба наполняет бассейн на $\frac{1}{x}$, вторая — на $\frac{1}{x+2}$, третья — на $\frac{1}{x+8}$.

По условию, первая труба наполняет бассейн за то же время, что и две другие вместе, значит:

$$
\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+8}=\frac{1}{x}.
$$

Умножим на $x(x+2)(x+8)$:

$$
x(x+8)+x(x+2)=(x+2)(x+8).
$$

$$
x^2+8x+x^2+2x=x^2+10x+16
$$

$$
x^2-16=0
$$

$$
x=\pm 4.
$$

Так как время не может быть отрицательным, получаем $x=4$.

Тогда:

$$
x+2=6,\qquad x+8=12.
$$

Ответ

1) Да, выражение равно $2$ и является положительным при всех допустимых значениях переменной.
2) Через первую трубу — $4$ ч, через вторую — $6$ ч, через третью — $12$ ч.