Упр.827 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: При каких значениях а уравнение (x2-ax+5)/(x-1) = 0 имеет единственный корень? К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на 1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ время наполнения бассейна первой трубой. Тогда второй трубой бассейн можно наполнить за $$x+1$$ ч.

За 1 час первая труба наполняет $$\frac{1}{x}$$ бассейна, а вторая сливает $$\frac{1}{x+1}$$ бассейна. Вместе они наполняют бассейн за 30 ч, значит, за 1 час наполняется $$\frac{1}{30}$$ бассейна.

Составим уравнение:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{30}$$

Умножим обе части на $$30x(x+1)$$:

$$
30(x+1)-30x=x(x+1)
$$

$$
30x+30-30x=x^2+x
$$

$$
x^2+x-30=0
$$

Найдём корни:

$$
D=1+120=121,\quad \sqrt{D}=11
$$

$$
x_{1}=\frac{-1-11}{2}=-6,\qquad x_{2}=\frac{-1+11}{2}=5
$$

Так как время не может быть отрицательным, подходит только $$x=5$$.