Упр.825 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (3x+2)/(x2+2x+4) + (x2+39)/(x3-8) = 5/(x-2);
2) x/(x-1) + (x+1)/(x+3) = 8/(x2+2x-3). Кусок сплава меди и цинка, содержавший 10 кг цинка, сплавили с 10 кг меди. Полученный сплав содержит на 5 % меди больше, чем исходный. С колько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

1. $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{x^3-8}=\frac{5}{x-2}$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$
   Тогда
   $$\frac{3x+2}{x^2+2x+4}+\frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)}-\frac{5}{x-2}=0.$$
   Умножим на $$x-2$$:
   $$
   \frac{3x+2}{x^2+2x+4}(x-2)+\frac{x^2+39}{x^2+2x+4}-5=0.
   $$
   Умножим на $$x^2+2x+4$$:
   $$
   (3x+2)(x-2)+x^2+39-5(x^2+2x+4)=0.
   $$
   Получаем:
   $$
   3x^2-6x+2x-4+x^2+39-5x^2-10x-20=0,
   $$
   $$
   -x^2-14x+15=0,
   $$
   $$
   x^2+14x-15=0.
   $$
   Тогда
   $$
   D=14^2-4\cdot 1\cdot(-15)=196+60=256,
   $$
   $$
   x=\frac{-14\pm 16}{2}.
   $$
   Отсюда
   $$
   x_1=-15,\quad x_2=1.
   $$
   Оба значения подходят, так как $$x\neq 2$$.

2. $$\frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}=\frac{8}{x^2+2x-3}$$

   Разложим знаменатель:
   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$
   Тогда
   $$
   \frac{x}{x-1}+\frac{x+1}{x+3}-\frac{8}{(x+3)(x-1)}=0,
   $$
   где $$x\neq 1,\; x\neq -3.$$
   Умножим на $$ (x-1)(x+3) $$:
   $$
   x(x+3)+(x+1)(x-1)-8=0.
   $$
   Получаем:
   $$
   x^2+3x+x^2-1-8=0,
   $$
   $$
   2x^2+3x-9=0.
   $$
   Найдём корни:
   $$
   D=3^2-4\cdot 2\cdot(-9)=9+72=81,
   $$
   $$
   x=\frac{-3\pm 9}{4}.
   $$
   Тогда
   $$
   x_1=-3,\quad x_2=\frac{3}{2}.
   $$
   Значение $$x=-3$$ не подходит, так как не входит в область допустимых значений.
   Остаётся
   $$x=\frac{3}{2}.$$

3. Пусть в исходном куске сплава было $$x$$ кг меди. Тогда масса сплава равна $$x+10$$ кг, а после добавления $$10$$ кг меди — $$x+20$$ кг.

   Доля меди в исходном сплаве:
   $$\frac{x}{x+10},$$
   а в новом сплаве:
   $$\frac{x+10}{x+20}.$$
   По условию содержание меди увеличилось на $$5\% = \frac{1}{20}$$:
   $$
   \frac{x+10}{x+20}-\frac{x}{x+10}=\frac{1}{20}.
   $$
   Умножим на $$20(x+20)(x+10)$$:
   $$
   20(x+10)^2-20x(x+20)-(x+20)(x+10)=0.
   $$
   Раскроем скобки:
   $$
   20(x^2+20x+100)-20x^2-400x-x^2-30x-200=0,
   $$
   $$
   -x^2-30x+1800=0,
   $$
   $$
   x^2+30x-1800=0.
   $$
   Тогда
   $$
   D=30^2-4\cdot 1\cdot(-1800)=900+7200=8100,
   $$
   $$
   x=\frac{-30\pm 90}{2}.
   $$
   Получаем:
   $$
   x_1=-60,\quad x_2=30.
   $$
   Отрицательное значение не подходит, значит исходный кусок содержал $$30$$ кг меди.

Ответ

1) $$x=-15,\; 1$$; 2) $$x=\frac{3}{2}$$; 3) $$30$$ кг.