Упр.824 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (2x-10)/(x3+1) + 4/(x+1) = (5x-1)/(x2-x+1);
2) 6/(x2-4x+3) + (5-2x)/(x-1) = 3/(x-3); В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Сколько граммов воды содержал раствор первоначально?

Подробный ответ

$$\frac{2x-10}{x^3+1}+\frac{4}{x+1}=\frac{5x-1}{x^2-x+1}$$
Так как $$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$$, получаем
$$\frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{4}{x+1}-\frac{5x-1}{x^2-x+1}=0$$
$$x\neq -1$$
Умножим уравнение на $$\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$$:
$$2x-10+4(x^2-x+1)-(5x-1)(x+1)=0$$
$$2x-10+4x^2-4x+4-5x^2-4x+1=0$$
$$-x^2-6x-5=0$$
$$x^2+6x+5=0$$
$$\left(x+1\right)\left(x+5\right)=0$$
$$x=-1 \text{ или } x=-5$$
Значение $$x=-1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.
$$\frac{6}{x^2-4x+3}+\frac{5-2x}{x-1}=\frac{3}{x-3}$$
$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$, поэтому
$$\frac{6}{(x-1)(x-3)}+\frac{5-2x}{x-1}-\frac{3}{x-3}=0$$
$$x\neq 1,\quad x\neq 3$$
Умножим на $$\left(x-1\right)\left(x-3\right)$$:
$$6+(5-2x)(x-3)-3(x-1)=0$$
$$6+5x-15-2x^2+6x-3x+9=0$$
$$-2x^2+8x=0$$
$$-2x(x-4)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=4$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
Пусть первоначально в растворе было $$x$$ г воды. Тогда масса раствора равна $$x+20$$ г, а после добавления воды — $$x+120$$ г.
Концентрация соли уменьшилась на $$10\%$$, значит:
$$\frac{20}{x+20}-\frac{20}{x+120}=\frac{1}{10}$$
Умножим на $$10(x+20)(x+120)$$:
$$200(x+120)-200(x+20)=(x+20)(x+120)$$
$$200x+24000-200x-4000=x^2+140x+2400$$
$$x^2+140x-17600=0$$
$$D=140^2+4\cdot 17600=90000$$
$$\sqrt{D}=300$$
$$x=\frac{-140\pm 300}{2}$$
$$x_1=-220,\quad x_2=80$$
Отрицательное значение не подходит, значит, первоначально в растворе было $$80$$ г воды.