Упр.823 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) значение дроби 30/(x+3) на 1/2 меньше значения дроои 30/x;
2) значение дроби 20/x на 9 больше значения дроби 20/(x+18)? В первый день тракторист пахал поле 6 ч. На следующий день к нему присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы они закончили вспашку. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого надо на 3 ч меньше, чем второму?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — значение переменной. Тогда для первого пункта составим уравнение:
$$\frac{30}{x+3}=\frac{30}{x}-\frac12, \qquad x\ne 0,\ x\ne -3.$$
Умножим обе части на $$2x(x+3)$$:
$$60x=60(x+3)-x(x+3).$$
$$60x=60x+180-x^2-3x,$$
$$x^2+3x-180=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-180)=9+720=729,$$
$$\sqrt{D}=27.$$
$$x=\frac{-3\pm 27}{2}.$$
$$x_1=\frac{-3-27}{2}=-15,\qquad x_2=\frac{-3+27}{2}=12.$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
Для второго пункта:
$$\frac{20}{x}-\frac{20}{x+18}=9, \qquad x\ne 0,\ x\ne -18.$$
Умножим на $$x(x+18)$$:
$$20(x+18)-20x=9x(x+18).$$
$$360=9x^2+162x,$$
$$9x^2+162x-360=0.$$
Разделим на $$9$$:
$$x^2+18x-40=0.$$
$$D=18^2-4\cdot 1\cdot(-40)=324+160=484,$$
$$\sqrt{D}=22.$$
$$x=\frac{-18\pm 22}{2}.$$
$$x_1=-20,\qquad x_2=2.$$
Оба значения подходят.
Пусть первый тракторист может вспахать поле за $$x$$ ч, тогда второй — за $$x+3$$ ч.
За 6 ч первый вспахал $$\frac{6}{x}$$ поля, а за 8 ч совместной работы они вспахали
$$\frac{8}{x}+\frac{8}{x+3}$$
поля. Тогда
$$\frac{6}{x}+\frac{8}{x}+\frac{8}{x+3}=1, \qquad x\ne 0,\ x\ne -3.$$
$$\frac{14}{x}+\frac{8}{x+3}=1.$$
Умножим на $$x(x+3)$$:
$$14(x+3)+8x=x(x+3).$$
$$14x+42+8x=x^2+3x,$$
$$x^2-19x-42=0.$$
$$D=19^2+4\cdot 42=361+168=529,$$
$$\sqrt{D}=23.$$
$$x=\frac{19\pm 23}{2}.$$
$$x_1=-2 \text{ (не подходит)},\qquad x_2=21.$$
Тогда второй тракторист может вспахать поле за $$21+3=24$$ ч.