Упр.822 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) сумма дробей 24/(x-2) и 16/(x+2) равна 3;
2) значение дроби 42/x на 1/4 больше значения дроби 36/(x+20)? Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покрасить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его сменил второй маляр, проработавший 2 ч, то оказалось, что покрашено 40 % фасада. За какое время может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно?

Подробный ответ

Решим уравнение
$$\frac{24}{x-2}+\frac{16}{x+2}=3,$$
где $$x \ne 2,$$ $$x \ne -2.$$ Умножим обе части на $$x^2-4$$:
$$24(x+2)+16(x-2)=3(x^2-4).$$
Раскроем скобки:
$$24x+48+16x-32=3x^2-12,$$
$$3x^2-40x-28=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-40)^2-4\cdot 3\cdot(-28)=1600+336=1936,$$
$$\sqrt{D}=44.$$
$$x_{1,2}=\frac{40\pm 44}{6}.$$
Тогда
$$x_1=\frac{40-44}{6}=-\frac{2}{3}, \qquad x_2=\frac{40+44}{6}=14.$$
Решим уравнение
$$\frac{42}{x}-\frac{36}{x+20}=\frac14,$$
где $$x \ne 0,$$ $$x \ne -20.$$ Умножим обе части на $$4x(x+20)$$:
$$168(x+20)-144x=x(x+20).$$
Получаем:
$$168x+3360-144x=x^2+20x,$$
$$x^2-4x-3360=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-3360)=16+13440=13456,$$
$$\sqrt{D}=116.$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 116}{2}.$$
Тогда
$$x_1=-56, \qquad x_2=60.$$
Пусть второму маляру требуется $$x$$ часов, тогда первому — $$x+5$$ часов.
За 3 часа первый маляр выполнит $$\frac{3}{x+5}$$ работы, а за 2 часа второй — $$\frac{2}{x}$$ работы. По условию это составляет $$40\%=\frac25$$ фасада:
$$\frac{3}{x+5}+\frac{2}{x}=\frac25.$$
Умножим на $$5x(x+5)$$:
$$15x+10(x+5)=2x(x+5),$$
$$15x+10x+50=2x^2+10x,$$
$$2x^2-15x-50=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-15)^2-4\cdot 2\cdot(-50)=225+400=625,$$
$$\sqrt{D}=25.$$
$$x_{1,2}=\frac{15\pm 25}{4}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac52 \; \text{(не подходит)}, \qquad x_2=10.$$
Значит, второй маляр красит фасад за $$10$$ ч, а первый — за $$10+5=15$$ ч.