Упр.819 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (2x-13)/(x-6) = (x+6)/x;
2) (3×2-4x-20)/(x+2) = 2x-5. Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель — на 8, то полученная дробь будет на 1/6 больше исходной. Найдите исходную дробь.

1. $$\frac{2x-13}{x-6}=\frac{x+6}{x}, \qquad x\ne 0,\; x\ne 6.$$

   Умножим обе части уравнения на $$x(x-6)$$:

   $$x(2x-13)=(x+6)(x-6).$$

   $$2x^2-13x=x^2-36$$

   $$x^2-13x+36=0.$$

   $$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25.$$

   $$x_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}.$$

   $$x_1=4,\qquad x_2=9.$$

   Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

2. $$\frac{3x^2-4x-20}{x+2}=2x-5, \qquad x\ne -2.$$

   Умножим обе части на $$x+2$$:

   $$3x^2-4x-20=(2x-5)(x+2).$$

   $$3x^2-4x-20=2x^2-x-10$$

   $$x^2-3x-10=0.$$

   $$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)=0.$$

   $$x=5 \text{ или } x=-2.$$

   Так как $$x=-2$$ не подходит по ОДЗ, остаётся $$x=5$$.

3. Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x+3$$.

   После увеличения числителя на 4 и знаменателя на 8 получаем дробь $$\frac{x+4}{x+11}$$.

   По условию:

   $$\frac{x+4}{x+11}=\frac{x}{x+3}+\frac16.$$

   Умножим на $$6(x+3)(x+11)$$:

   $$6(x+4)(x+3)=6x(x+11)+(x+3)(x+11).$$

   $$6x^2+42x+72=7x^2+80x+33$$

   $$x^2+38x-39=0.$$

   $$D=38^2+4\cdot 39=1600,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-38\pm 40}{2}.$$

   $$x_1=1,\qquad x_2=-39.$$

   Проверим:

   при $$x=1$$ исходная дробь равна $$\frac{1}{4}$$;

   при $$x=-39$$ дробь $$\frac{-39}{-36}$$ не является обыкновенной дробью в данном смысле задачи.

   Значит, исходная дробь равна $$\frac14$$.

Ответ

1) $$x=4,\; 9$$; 2) $$x=5$$; 3) $$\frac14$$.