Упр.818 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 2y/(y-3) = (3y+3)/y;
2) (3x+4)/(x-3) = (2x-9)/(x+1); Теплоход прошёл 16 км по озеру, а затем 18 км по реке, берущей начало из этого озера, за 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

Подробный ответ

$$\frac{2y}{y-3}=\frac{3y+3}{y}$$
ОДЗ: $$y\ne 0,\; y\ne 3.$$
Умножим обе части на $$y(y-3)$$:
$$2y^2-(3y+3)(y-3)=0$$
$$2y^2-(3y^2-6y-9)=0$$
$$-y^2+6y+9=0$$
$$y^2-6y-9=0$$
$$D=36+36=72,\quad \sqrt{D}=6\sqrt{2}.$$
$$y_{1,2}=\frac{6\pm 6\sqrt{2}}{2}=3\pm 3\sqrt{2}.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
$$\frac{3x+4}{x-3}=\frac{2x-9}{x+1}$$
ОДЗ: $$x\ne 3,\; x\ne -1.$$
Умножим обе части на $$ (x-3)(x+1) $$:
$$ (x+1)(3x+4)-(2x-9)(x-3)=0 $$
$$ 3x^2+7x+4-(2x^2-15x+27)=0 $$
$$ x^2+22x-23=0 $$
$$ D=22^2-4\cdot 1\cdot(-23)=484+92=576,\quad \sqrt{D}=24.$$
$$ x_{1,2}=\frac{-22\pm 24}{2}.$$
$$x_1=-23,\quad x_2=1.$$
Оба корня подходят.
Пусть $$x$$ км/ч — скорость теплохода в стоячей воде. Тогда по течению реки его скорость равна $$x+4$$ км/ч.
Составим уравнение по времени:
$$\frac{16}{x}+\frac{18}{x+4}=1.$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne -4.$$
Умножим на $$x(x+4)$$:
$$16(x+4)+18x=x(x+4)$$
$$16x+64+18x=x^2+4x$$
$$x^2-30x-64=0.$$
$$D=30^2+4\cdot 64=900+256=1156,\quad \sqrt{D}=34.$$
$$x_{1,2}=\frac{30\pm 34}{2}.$$
$$x_1=-2 \text{ не подходит},\quad x_2=32.$$