Упр.815 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (x2 — 5x — 6)/(x — 6) = 0;
2) (4×2 — 7x — 2)/(x — 2) = 0; Междугородный автобус должен был проехать 72 км. После того как он проехал 24 км его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин. Потом он увеличил скорость на 12 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса.

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-5x-6}{x-6}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$x^2-5x-6=0,\qquad x\ne 6.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-5x-6=(x-6)(x+1).$$

Тогда

$$ (x-6)(x+1)=0,$$

откуда

$$x=6 \text{ или } x=-1.$$

Но $x=6$ не подходит, так как обращает знаменатель в нуль. Значит,

$$x=-1.$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{4x^2-7x-2}{x-2}=0.$$

Тогда

$$4x^2-7x-2=0,\qquad x\ne 2.$$

Разложим числитель на множители:

$$4x^2-7x-2=(4x+1)(x-2).$$

Получаем

$$ (4x+1)(x-2)=0,$$

откуда

$$x=-\frac14 \text{ или } x=2.$$

Но $x=2$ не подходит, так как знаменатель равен нулю. Значит,

$$x=-\frac14.$$

3) Пусть $x$ км/ч — первоначальная скорость автобуса. Тогда после увеличения скорость стала $x+12$ км/ч.

После переезда осталось проехать

$$72-24=48\text{ км}.$$

По условию автобус опоздал на $4$ мин, а задержка на переезде составила $12$ мин, значит, общее время движения увеличилось на

$$12+4=16\text{ мин}=\frac{4}{15}\text{ ч}.$$

Составим уравнение по времени:

$$\frac{24}{x}+\frac{48}{x+12}=\frac{72}{x}+\frac{4}{15}.$$

Перенесём слагаемые:

$$\frac{48}{x+12}-\frac{48}{x}=\frac{4}{15}-\frac{24}{x}.$$

Удобнее записать сразу как разность времени:

$$\frac{24}{x}+\frac{1}{5}+\frac{48}{x+12}=\frac{72}{x}+\frac{1}{15}.$$

Тогда

$$\frac{48}{x+12}-\frac{48}{x}=-\frac{2}{15}.$$

Умножим на $15x(x+12)$:

$$720x-720(x+12)=-2\cdot 15x(x+12).$$

После упрощения получаем

$$2x^2+24x-8640=0,$$

или

$$x^2+12x-4320=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2+4\cdot 4320=144+17280=17424,$$

$$\sqrt{17424}=132.$$

Тогда

$$x_1=\frac{-12-132}{2}=-72,\qquad x_2=\frac{-12+132}{2}=60.$$

Скорость не может быть отрицательной, значит, подходит только $x=60$.

Ответ

1) $$x=-1.$$

2) $$x=-\frac14.$$

3) $$60\text{ км/ч}.$$