Упр.811 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых — натуральные числа. Каких прямоугольников больше: с периметром 1000 или с периметром 1002? Лодка проплыла 15 км но течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.

1) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа. Тогда

$$2(a+b)=1000 \Rightarrow a+b=500.$$

Число пар натуральных чисел $$\left(a,b\right)$$ с суммой $$500$$ равно

$$499:2=249$$

если не различать прямоугольники, получающиеся перестановкой сторон. Но в учебнике рассматриваются все прямоугольники с натуральными сторонами, то есть пары вида

$$1+499,\ 2+498,\ \ldots,\ 250+250,$$

их $$250$$.

Аналогично, если периметр равен $$1002$$, то

$$2(a+b)=1002 \Rightarrow a+b=501.$$

Тогда возможны пары

$$1+500,\ 2+499,\ \ldots,\ 250+251,$$

и таких прямоугольников тоже $$250$$.

Следовательно, прямоугольников с периметром $$1000$$ и $$1002$$ поровну.

2) Пусть собственная скорость лодки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость по течению реки равна $$x+2$$ км/ч, а против течения — $$x-2$$ км/ч.

По условию:

$$\frac{15}{x-2}-\frac{15}{x+2}=1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$
\frac{15(x+2)-15(x-2)}{(x-2)(x+2)}=1
$$

$$
15x+30-15x+30=(x-2)(x+2)
$$

$$
60=x^2-4
$$

$$
x^2=64
$$

$$
x=8
$$

Так как скорость должна быть больше $$2$$ км/ч, значение $$x=-8$$ не подходит.

Тогда скорость лодки по течению:

$$8+2=10$$ км/ч.

Ответ

1) Поровну, по $$250$$ прямоугольников. 2) $$10$$ км/ч.