Упр.810 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (4х — 1)/(x — 2) = (х + 5)/(x — 2);
2) (2y2 -3y — 20)/(y — 4) = 1; Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Подробный ответ

$$\frac{4x-1}{x-2}=\frac{x+5}{x-2}, \qquad x\ne 2$$
Умножим обе части на $$x-2$$:
$$4x-1=x+5$$
$$4x-x=5+1$$
$$3x=6$$
$$x=2$$
Но $$x=2$$ не подходит, так как при этом знаменатель обращается в нуль.
$$\frac{2y^2-3y-20}{y-4}=1, \qquad y\ne 4$$
Умножим обе части на $$y-4$$:
$$2y^2-3y-20=y-4$$
$$2y^2-4y-16=0$$
$$y^2-2y-8=0$$
$$(y-4)(y+2)=0$$
$$y=4 \text{ или } y=-2$$
Значение $$y=4$$ не подходит, поэтому
$$y=-2$$.
Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда по течению его скорость равна $$x+1$$ км/ч, а против течения — $$x-1$$ км/ч.
Время в пути:
$$1\text{ ч }30\text{ мин}=\frac{3}{2}\text{ ч}$$
Составим уравнение:
$$\frac{16}{x+1}+\frac{30}{x-1}=\frac{3}{2}, \qquad x\ne 1,\; x\ne -1$$
Умножим на $$2(x+1)(x-1)$$:
$$32(x-1)+60(x+1)=3(x^2-1)$$
$$32x-32+60x+60=3x^2-3$$
$$3x^2-92x-31=0$$
$$D=92^2-4\cdot 3\cdot(-31)=8464+372=8836$$
$$\sqrt{D}=94$$
$$x=\frac{92\pm 94}{6}$$
$$x_1=-\frac{1}{3}, \qquad x_2=31$$
Отрицательное значение не подходит, значит собственная скорость катера равна $$31$$ км/ч.