Упр.805 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Для каждого значения а решите уравнение (а2 + 7a — 8)x = а2 + 16a + 64. Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 80 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
1) Решим уравнение $$\left(a^2+7a-8\right)x=a^2+16a+64.$$
Разложим на множители:
$$a^2+7a-8=(a+8)(a-1),$$
$$a^2+16a+64=(a+8)^2.$$
Тогда
$$\left(a+8\right)\left(a-1\right)x=\left(a+8\right)^2.$$
Рассмотрим случаи:
- если $$a=-8,$$ то получаем $$0\cdot x=0,$$ значит, $$x$$ — любое число;
- если $$a=1,$$ то получаем $$0\cdot x=81,$$ корней нет;
- если $$a\ne -8$$ и $$a\ne 1,$$ то можно разделить на $$a+8$$ и $$a-1$$:
$$x=\frac{a+8}{a-1}.$$
2) Найдём первоначальную скорость поезда.
Пусть первоначальная скорость равна $$x$$ км/ч, тогда после увеличения она стала $$x+16$$ км/ч.
10 мин $$=\frac{10}{60}=\frac16$$ ч.
За 80 км поезд шёл сначала со скоростью $$x$$, а затем со скоростью $$x+16$$, поэтому:
$$\frac{80}{x}-\frac{80}{x+16}=\frac16.$$
Умножим на $$6x(x+16)$$:
$$480(x+16)-480x-x(x+16)=0,$$
$$480x+7680-480x-x^2-16x=0,$$
$$x^2+16x-7680=0.$$
Найдём корни:
$$D=16^2-4\cdot 1\cdot(-7680)=256+30720=30976,$$
$$\sqrt{30976}=176.$$
Тогда
$$x=\frac{-16\pm 176}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=80,\qquad x_2=-96.$$
Отрицательная скорость не подходит, значит, первоначальная скорость поезда равна $$80$$ км/ч.
Ответ
$$a=-8$$ — любое число; $$a=1$$ — корней нет; при $$a\ne -8$$ и $$a\ne 1$$: $$x=\frac{a+8}{a-1}.$$ Первоначальная скорость поезда: $$80$$ км/ч.
