Упр.798 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) (9a2 — 4)/(2a2 — 5a + 2) * (a — 2)/(3a + 2) + (a — 1)/(1 — 2a); Верно ли утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения
(a-1)2 * (1/(a2-1) + 1/(a2-2a+1)) + 2/(a+1)
является положительным?

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$
\frac{9a^2-4}{2a^2-5a+2}\cdot \frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a}
$$

Разложим на множители:

$$
9a^2-4=(3a-2)(3a+2), \qquad 2a^2-5a+2=(2a-1)(a-2).
$$

Тогда

$$
\frac{(3a-2)(3a+2)}{(2a-1)(a-2)}\cdot \frac{a-2}{3a+2}+\frac{a-1}{1-2a}
=
\frac{3a-2}{2a-1}+\frac{a-1}{1-2a}.
$$

Так как $$1-2a=-(2a-1),$$ то

$$
\frac{3a-2}{2a-1}-\frac{a-1}{2a-1}
=
\frac{3a-2-a+1}{2a-1}
=
\frac{2a-1}{2a-1}
=
1.
$$

ОДЗ: $$2a^2-5a+2\ne 0,\; 3a+2\ne 0,\; 1-2a\ne 0,$$ то есть $$a\ne 2,\; a\ne \frac12,\; a\ne -\frac23.$$

2) Проверим, положительно ли выражение при всех допустимых значениях:

$$
(a-1)^2\left(\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{a^2-2a+1}\right)+\frac{2}{a+1}.
$$

Разложим знаменатели:

$$
a^2-1=(a-1)(a+1), \qquad a^2-2a+1=(a-1)^2.
$$

Тогда

$$
(a-1)^2\left(\frac{1}{(a-1)(a+1)}+\frac{1}{(a-1)^2}\right)+\frac{2}{a+1}
$$
$$
=
(a-1)^2\cdot \frac{a-1+a+1}{(a-1)^2(a+1)}+\frac{2}{a+1}
=
\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}
=
\frac{2(a+1)}{a+1}
=
2.
$$

При всех допустимых значениях переменной выражение равно $$2$$, значит оно положительно.