Упр.797 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 2х2 — 7х + а содержит множитель (х — 4);
2) 4×2 — ах + 6 содержит множитель (2х + 1)? При каких значениях а уравнение (x2-ax+5)/(x-1) = 0 имеет единственный корень?

1. Если многочлен $$2x^2-7x+a$$ содержит множитель $$x-4$$, то $$x=4$$ — его корень. Подставим:

   $$2\cdot 4^2-7\cdot 4+a=0$$

   $$32-28+a=0$$

   $$a=-4$$

2. Если многочлен $$4x^2-ax+6$$ содержит множитель $$2x+1$$, то $$x=-\frac12$$ — его корень. Подставим:

   $$4\left(-\frac12\right)^2-a\left(-\frac12\right)+6=0$$

   $$1+\frac{a}{2}+6=0$$

   $$\frac{a}{2}=-7$$

   $$a=-14$$

3. Рассмотрим уравнение

   $$\frac{x^2-ax+5}{x-1}=0,\quad x\ne 1$$

   Оно равносильно системе:

   $$
   \begin{cases}
   x^2-ax+5=0,\\
   x\ne 1.
   \end{cases}
   $$

   Чтобы уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение $$x^2-ax+5=0$$ должно иметь один корень, то есть

   $$D=a^2-4\cdot 5=a^2-20=0$$

   $$a^2=20$$

   $$a=\pm 2\sqrt5$$

   Проверим корень $$x=1$$. При $$a=2\sqrt5$$ корень уравнения равен $$x=\sqrt5$$, при $$a=-2\sqrt5$$ — $$x=-\sqrt5$$. В обоих случаях $$x\ne 1$$, значит, посторонних корней нет.

Ответ

1) $$a=-4$$; 2) $$a=-14$$; 3) $$a=\pm 2\sqrt5$$.