Упр.795 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (4×2 + x — 3)/(x2 — 1);
2) (2y2 + 3y — 5)/(y2 — 2y + 1); Решите уравнение:
1) (x2 — 6x)2 + (x2 — 6x) — 56 = 0;
2) (x2 + 8x + 3)(x2 + 8x + 5) = 63;
3) x4/(x-2)2 — 4×2/(x-2) — 5 = 0;
4) (x+4)/(x-3) — (x-3)/(x+4) = 3/2.

1. Сократим дроби:

   $$\frac{4x^2+x-3}{x^2-1}=\frac{(x+1)(4x-3)}{(x-1)(x+1)}=\frac{4x-3}{x-1}, \quad x\ne \pm 1.$$

   $$\frac{2y^2+3y-5}{y^2-2y+1}=\frac{(2y+5)(y-1)}{(y-1)^2}=\frac{2y+5}{y-1}, \quad y\ne 1.$$

2. 1) Пусть $$t=x^2-6x$$. Тогда

   $$t^2+t-56=0,$$
   $$D=1+224=225,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}.$$

   $$t_1=7,\quad t_2=-8.$$

   Если $$x^2-6x=7,$$ то
   $$x^2-6x-7=0,$$
   $$x_1=7,\quad x_2=-1.$$

   Если $$x^2-6x=-8,$$ то
   $$x^2-6x+8=0,$$
   $$x_1=2,\quad x_2=4.$$

   Ответ: $$x=-1,\;2,\;4,\;7.$$

3. 2) Пусть $$t=x^2+8x$$. Тогда

   $$(t+3)(t+5)=63,$$
   $$t^2+8t+15=63,$$
   $$t^2+8t-48=0.$$

   $$D=64+192=256,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-8\pm 16}{2}.$$

   $$t_1=4,\quad t_2=-12.$$

   Если $$x^2+8x=4,$$ то
   $$x^2+8x-4=0,$$
   $$x=\frac{-8\pm \sqrt{80}}{2}=-4\pm 2\sqrt5.$$

   Если $$x^2+8x=-12,$$ то
   $$x^2+8x+12=0,$$
   $$x_1=-6,\quad x_2=-2.$$

   Ответ: $$x=-6,\;-2,\;-4\pm 2\sqrt5.$$

4. 3) Пусть $$t=\frac{x^2}{x-2}$$, тогда $$x\ne 2$$. Получаем

   $$t^2-4t-5=0,$$
   $$(t-5)(t+1)=0.$$

   1) $$\frac{x^2}{x-2}=5 \Rightarrow x^2-5x+10=0,$$
   $$D=25-40=-15<0,$$ корней нет.

   2) $$\frac{x^2}{x-2}=-1 \Rightarrow x^2+x-2=0,$$
   $$(x+2)(x-1)=0.$$

   $$x=-2,\quad x=1.$$

   Ответ: $$x=-2,\;1.$$

5. 4) Пусть $$t=\frac{x+4}{x-3}$$, тогда $$x\ne 3$$. Имеем

   $$t-\frac1t=\frac32,$$
   $$2t^2-3t-2=0.$$

   $$D=9+16=25,$$
   $$t_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$

   $$t_1=2,\quad t_2=-\frac12.$$

   1) $$\frac{x+4}{x-3}=2 \Rightarrow x+4=2x-6 \Rightarrow x=10.$$

   2) $$\frac{x+4}{x-3}=-\frac12 \Rightarrow 2(x+4)=-(x-3) \Rightarrow 3x=-5 \Rightarrow x=-\frac53.$$

   Ответ: $$x=10,\;-\frac53.$$