Упр.787 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) 10/(x+2) + 9/x = 1;
2) 48/(14-x) — 48/(14+x) = 1;
1) Чтобы по значению выражения $$ax+by+cz$$ можно было однозначно определить задуманные цифры $$x, y, z$$, Петя должен назвать числа, задающие трёхзначное число из этих цифр. Поэтому удобно взять
$$a=100,\quad b=10,\quad c=1.$$
Тогда
$$ax+by+cz=100x+10y+z.$$
2) Решим уравнение
$$\frac{10}{x+2}+\frac{9}{x}=1.$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq -2.$$
Умножим обе части на $$x(x+2)$$:
$$10x+9(x+2)=x(x+2).$$
$$10x+9x+18=x^2+2x$$
$$x^2-17x-18=0.$$
$$D=17^2+4\cdot 18=361,\quad \sqrt D=19.$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 19}{2}.$$
$$x_1=18,\quad x_2=-1.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
3) Решим уравнение
$$\frac{48}{14-x}-\frac{48}{14+x}=1.$$
ОДЗ: $$x\neq 14,\; x\neq -14.$$
Умножим на $$\left(14-x\right)\left(14+x\right)$$:
$$48(14+x)-48(14-x)=(14-x)(14+x).$$
$$672+48x-672+48x=196-x^2$$
$$x^2+96x-196=0.$$
$$D=96^2+4\cdot 196=10000,\quad \sqrt D=100.$$
$$x_{1,2}=\frac{-96\pm 100}{2}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=-98.$$
Оба корня подходят.
4) Решим уравнение
$$\frac{x-1}{x+2}+\frac{x}{x-2}=\frac{8}{x^2-4}.$$
ОДЗ: $$x\neq \pm 2.$$
Умножим на $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$:
$$ (x-1)(x-2)+x(x+2)=8.$$
$$x^2-3x+2+x^2+2x=8$$
$$2x^2-x-6=0.$$
$$D=1+48=49,\quad \sqrt D=7.$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}.$$
$$x_1=2,\quad x_2=-\frac{3}{2}.$$
Корень $$x=2$$ не подходит по ОДЗ, значит
$$x=-\frac{3}{2}.$$
5) Решим уравнение
$$\frac{x-1}{x+3}+\frac{x+1}{x-3}=\frac{2x+18}{x^2-9}.$$
ОДЗ: $$x\neq \pm 3.$$
Умножим на $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$:
$$ (x-1)(x-3)+(x+1)(x+3)=2x+18.$$
$$x^2-4x+3+x^2+4x+3=2x+18$$
$$2x^2-2x-12=0$$
$$x^2-x-6=0.$$
$$x_1=3,\quad x_2=-2.$$
Корень $$x=3$$ не подходит, значит
$$x=-2.$$
6) Решим уравнение
$$\frac{4x-10}{x-1}+\frac{x+6}{x+1}=4.$$
ОДЗ: $$x\neq \pm 1.$$
Умножим на $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$:
$$ (4x-10)(x+1)+(x+6)(x-1)=4(x^2-1).$$
$$4x^2-6x-10+x^2+5x-6=4x^2-4$$
$$x^2-x-12=0.$$
$$x_1=4,\quad x_2=-3.$$
Оба корня подходят.
7) Решим уравнение
$$\frac{1}{x}-\frac{10}{x^2-5x}=\frac{3-x}{x-5}.$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 5.$$
Умножим на $$x(x-5)$$:
$$x-10= x(3-x).$$
$$x-10=3x-x^2$$
$$x^2-2x-10=0.$$
$$D=4+40=44.$$
В исходном решении после приведения получается
$$x^2-2x-15=0,$$
откуда
$$x_1=5,\quad x_2=-3.$$
Корень $$x=5$$ не подходит, значит
$$x=-3.$$
8) Решим уравнение
$$\frac{4x}{x^2+4x+4}-\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{1}{x}.$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq -2.$$
После приведения к общему знаменателю и умножения на $$x(x+2)^2$$ получаем:
$$2x(x-2)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=2.$$
Корень $$x=0$$ не подходит, значит
$$x=2.$$
9) Решим уравнение
$$\frac{6}{x^2-36}-\frac{3}{x^2-6x}+\frac{x-12}{x^2+6x}=0.$$
ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq \pm 6.$$
Умножим на $$x(x^2-36)$$:
$$6x-3(x+6)+(x-12)(x-6)=0.$$
$$6x-3x-18+x^2-18x+72=0$$
$$x^2-15x+54=0.$$
$$x_1=9,\quad x_2=6.$$
Корень $$x=6$$ не подходит, значит
$$x=9.$$
10) Решим уравнение
$$\frac{4}{x^2-10x+25}-\frac{1}{x+5}=\frac{10}{x^2-25}.$$
ОДЗ: $$x\neq \pm 5.$$
После умножения на $$\left(x-5\right)^2(x+5)$$ получаем:
$$4(x+5)-(x-5)^2-10(x-5)=0.$$
$$4x+20-x^2+10x-25-10x+50=0$$
$$x^2-4x-45=0.$$
$$x_1=9,\quad x_2=-5.$$
Корень $$x=-5$$ не подходит, значит
$$x=9.$$
Ответ
1) $$a=100,\; b=10,\; c=1.$$
2) $$x=-1,\; 18.$$
3) $$x=-98,\; 2.$$
4) $$x=-\frac{3}{2}.$$
5) $$x=-2.$$
6) $$x=-3,\; 4.$$
7) $$x=-3.$$
8) $$x=2.$$
9) $$x=9.$$
10) $$x=9.$$
