Упр.782 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (4а — 16)/(a2 — 16);
2) (12b3 — 8b2)/(2 — 3b);
3) (с2 + 10с + 25)/(5c + 25);
4) (4 — m2)/(m2 — 4m + 4);
5) (n3 — n5)/(n3 — n);
6) (2 — 2×2)/(4×2 — 8x + 4). Решите уравнение:
1) х — 6 корень х + 8 = 0;
2) x — 5 корень x — 50 = 0;
3) 2x — З корень x + 1 = 0.

1. $$\frac{4a-16}{a^2-16}=\frac{4(a-4)}{(a-4)(a+4)}=\frac{4}{a+4}, \quad a\ne \pm 4.$$
2. $$\frac{12b^3-8b^2}{2-3b}=\frac{4b^2(3b-2)}{-(3b-2)}=-4b^2, \quad b\ne \frac23.$$
3. $$\frac{c^2+10c+25}{5c+25}=\frac{(c+5)^2}{5(c+5)}=\frac{c+5}{5}, \quad c\ne -5.$$
4. $$\frac{4-m^2}{m^2-4m+4}=\frac{(2-m)(2+m)}{(m-2)^2}=\frac{(2-m)(2+m)}{(m-2)(m-2)}=\frac{2+m}{2-m}, \quad m\ne 2.$$
5. $$\frac{n^3-n^5}{n^3-n}=\frac{n^3(1-n^2)}{n(n^2-1)}=\frac{n^3\bigl(-(n^2-1)\bigr)}{n(n^2-1)}=-n^2, \quad n\ne 0,\ \pm 1.$$
6. $$\frac{2-2x^2}{4x^2-8x+4}=\frac{2(1-x^2)}{4(x^2-2x+1)}=\frac{2(1-x)(1+x)}{4(1-x)^2}=\frac{1+x}{2(1-x)}, \quad x\ne 1.$$

Решим уравнения.

1. $$x-6\sqrt{x}+8=0.$$
   
   Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда $$x=y^2$$ и получаем:
   $$y^2-6y+8=0.$$
   $$y_1+y_2=6,\quad y_1y_2=8,$$
   откуда $$y_1=2,\ y_2=4.$$
   Значит,
   $$\sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4,$$
   $$\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16.$$
2. $$x-5\sqrt{x}-50=0.$$
   
   Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда
   $$y^2-5y-50=0.$$
   $$y_1+y_2=5,\quad y_1y_2=-50,$$
   откуда $$y_1=-5,\ y_2=10.$$
   Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ значение $$y=-5$$ не подходит.
   Тогда
   $$\sqrt{x}=10 \Rightarrow x=100.$$
3. $$2x-3\sqrt{x}+1=0.$$
   
   Пусть $$\sqrt{x}=y,$$ тогда
   $$2y^2-3y+1=0.$$
   $$D=9-8=1,$$
   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=1,\quad y_2=\frac12.$$
   Значит,
   $$\sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1,$$
   $$\sqrt{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac14.$$

Ответ

1) $$\frac{4}{a+4}$$; 2) $$-4b^2$$; 3) $$\frac{c+5}{5}$$; 4) $$\frac{2+m}{2-m}$$; 5) $$-n^2$$; 6) $$\frac{1+x}{2(1-x)}$$.
Уравнения: 1) $$x=4,\ 16$$; 2) $$x=100$$; 3) $$x=\frac14,\ 1$$.