Упр.780 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение:
1) (Зx — 1)4 — 20(Зx — 1)2 + 64 = 0;
2) (2x + З)4 — 24(2x + З)2 — 25 = 0.

Обозначим корни уравнения $$x^2-4x+a=0$$ через $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=4,\qquad x_1x_2=a.$$

Сумма квадратов корней равна

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2a.$$

1) Если $$x_1^2+x_2^2=12,$$ то

$$16-2a=12,$$
$$2a=4,$$
$$a=2.$$

Проверим: $$x^2-4x+2=0,$$

$$D=16-8=8>0,$$

значит, корни существуют.

2) Если $$x_1^2+x_2^2=6,$$ то

$$16-2a=6,$$
$$2a=10,$$
$$a=5.$$

Проверим: $$x^2-4x+5=0,$$

$$D=16-20=-4<0,$$

действительных корней нет.

Теперь решим уравнения.

1) $$\left(3x-1\right)^4-20\left(3x-1\right)^2+64=0.$$

Сделаем замену: $$y=\left(3x-1\right)^2.$$ Тогда

$$y^2-20y+64=0.$$

$$D=400-256=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{20\pm 12}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=4,\qquad y_2=16.$$

1) $$\left(3x-1\right)^2=4,$$ тогда

$$3x-1=2 \text{ или } 3x-1=-2,$$
$$x=1 \text{ или } x=-\frac13.$$

2) $$\left(3x-1\right)^2=16,$$ тогда

$$3x-1=4 \text{ или } 3x-1=-4,$$
$$x=\frac53 \text{ или } x=-1.$$

2) $$\left(2x+3\right)^4-24\left(2x+3\right)^2-25=0.$$

Сделаем замену: $$y=\left(2x+3\right)^2.$$ Тогда

$$y^2-24y-25=0.$$

$$D=576+100=676,$$
$$y_{1,2}=\frac{24\pm 26}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-1,\qquad y_2=25.$$

Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\left(2x+3\right)^2\ge 0.$$

Решаем $$\left(2x+3\right)^2=25$$:

$$2x+3=5 \text{ или } 2x+3=-5,$$
$$x=1 \text{ или } x=-4.$$

Ответ

1) $$a=2.$$ 2) $$a=5.$$
1) $$x=1,\,-\frac13,\,\frac53,\,-1.$$
2) $$x=1,\,-4.$$