Упр.78 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (a+b)2/4ab — (a-b)2/4ab = 1;
2) (a+b)2/(a2+b2) + (a-b)2/(a2+b2) = 2. Представьте в виде дроби выражение:
1) (15-8a)/(a-1)2 — (14-7a)/(1-a)2;

1) Преобразуем левую часть:

$$
\frac{(a+b)^2}{4ab}-\frac{(a-b)^2}{4ab}
=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab}
$$

Раскроем скобки:

$$
(a+b)^2-(a-b)^2
=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)=4ab
$$

Тогда

$$
\frac{4ab}{4ab}=1
$$

Тождество доказано.

2) Аналогично:

$$
\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}+\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}
=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2}
$$

Раскроем скобки:

$$
(a+b)^2+(a-b)^2
=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2a^2+2b^2
$$

Тогда

$$
\frac{2a^2+2b^2}{a^2+b^2}
=\frac{2(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=2
$$

Тождество доказано.

3) Представим выражение в виде дроби:

$$
\frac{15-8a}{(a-1)^2}-\frac{14-7a}{(1-a)^2}
$$

Так как $$ (1-a)^2=(a-1)^2 $$, получаем:

$$
\frac{15-8a}{(a-1)^2}-\frac{14-7a}{(a-1)^2}
=\frac{15-8a-14+7a}{(a-1)^2}
=\frac{1-a}{(a-1)^2}
$$

Поскольку $$1-a=-(a-1)$$, то

$$
\frac{1-a}{(a-1)^2}=-\frac{a-1}{(a-1)^2}=-\frac{1}{a-1}=\frac{1}{1-a}
$$

При $$a\ne 1$$.

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{1}{1-a}$$, $$a\ne 1$$.