Упр.778 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) х2 + bх + 8 = 0;
2) х2 + bх — 18 = 0. Решите уравнение:
1) (x2 — 5x — 6)/(x — 6) = 0;
2) (4×2 — 7x — 2)/(x — 2) = 0;

1. $$x^2+bx+8=0$$

   Пусть корни уравнения — целые числа $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

   $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=8.$$

   Подберём целые пары множителей числа $$8$$:

   $$1\cdot 8,\quad 2\cdot 4,\quad (-1)\cdot(-8),\quad (-2)\cdot(-4).$$

   Для них получаем:

   $$1+8=9 \Rightarrow b=-9,$$
   $$2+4=6 \Rightarrow b=-6,$$
   $$(-1)+(-8)=-9 \Rightarrow b=9,$$
   $$(-2)+(-4)=-6 \Rightarrow b=6.$$

   Значит, $$b=\pm 6,\ \pm 9.$$

2. $$x^2+bx-18=0$$

   По теореме Виета

   $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=-18.$$

   Подберём целые пары множителей числа $$-18$$:

   $$1\cdot(-18),\ 2\cdot(-9),\ 3\cdot(-6),\ (-1)\cdot 18,\ (-2)\cdot 9,\ (-3)\cdot 6.$$

   Тогда:

   $$1+(-18)=-17 \Rightarrow b=17,$$
   $$2+(-9)=-7 \Rightarrow b=7,$$
   $$3+(-6)=-3 \Rightarrow b=3,$$
   $$(-1)+18=17 \Rightarrow b=-17,$$
   $$(-2)+9=7 \Rightarrow b=-7,$$
   $$(-3)+6=3 \Rightarrow b=-3.$$

   Следовательно, $$b=\pm 3,\ \pm 7,\ \pm 17.$$

3. $$\frac{x^2-5x-6}{x-6}=0,\qquad x\ne 6$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

   $$x^2-5x-6=0.$$

   $$D=25+24=49,\qquad x=\frac{5\pm 7}{2}.$$

   $$x_1=-1,\qquad x_2=6.$$

   Так как $$x\ne 6,$$ подходит только $$x=-1.$$

4. $$\frac{4x^2-7x-2}{x-2}=0,\qquad x\ne 2$$

   Решаем уравнение числителя:

   $$4x^2-7x-2=0.$$

   $$D=49+32=81,\qquad x=\frac{7\pm 9}{8}.$$

   $$x_1=-\frac14,\qquad x_2=2.$$

   Так как $$x\ne 2,$$ ответ: $$x=-\frac14.$$

Ответ

1) $$b=\pm 6,\ \pm 9$$;
2) $$b=\pm 3,\ \pm 7,\ \pm 17$$;
3) $$x=-1$$;
4) $$x=-\frac14$$.