Упр.776 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) уравнение 7×2 + 4х — a2 — 1 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении а;
2) если уравнение х2 + 6x + а2 + 4 = 0 имеет корни, то независимо от значения а они оба отрицательны? Решите уравнение:
1) x4 — 29×2 + 100 = 0;
2) х4 — 9×2 + 20 = 0;
3) x4 — 2×2 — 24 = 0;
4) x4 + Зx2 — 70 = 0;
5) 9×4 — 10×2 + 1 = 0;
6) 2×4 — 5×2 + 2 = 0.
1) Для уравнения $$7x^2+4x-a^2-1=0$$ по теореме Виета имеем:
$$x_1+x_2=-\frac{4}{7}, \qquad x_1x_2=\frac{-a^2-1}{7}.$$
Так как $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$, то $$x_1x_2<0$$. Значит, корни разных знаков.
2) Для уравнения $$x^2+6x+a^2+4=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-6, \qquad x_1x_2=a^2+4.$$
Если уравнение имеет корни, то $$a^2+4>0$$, а сумма корней отрицательна. Следовательно, оба корня отрицательны.
3) $$x^4-29x^2+100=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-29y+100=0.$$
$$D=29^2-4\cdot100=841-400=441,$$
$$y_{1,2}=\frac{29\pm21}{2}.$$
Отсюда $$y_1=25,\; y_2=4.$$ Тогда
$$x^2=25 \Rightarrow x=\pm5,$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2.$$
4) $$x^4-9x^2+20=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-9y+20=0,$$
$$D=9^2-4\cdot20=81-80=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{9\pm1}{2}.$$
Получаем $$y_1=5,\; y_2=4.$$ Значит,
$$x^2=5 \Rightarrow x=\pm\sqrt5,$$
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm2.$$
5) $$x^4-2x^2-24=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2-2y-24=0,$$
$$D=4+96=100,$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm10}{2}.$$
Отсюда $$y_1=6,\; y_2=-4.$$ Так как $$x^2\ge 0$$, берём только $$y=6$$:
$$x^2=6 \Rightarrow x=\pm\sqrt6.$$
6) $$x^4+3x^2-70=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$y^2+3y-70=0,$$
$$D=3^2+4\cdot70=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm17}{2}.$$
Получаем $$y_1=7,\; y_2=-10.$$ Берём только $$y=7$$:
$$x^2=7 \Rightarrow x=\pm\sqrt7.$$
7) $$9x^4-10x^2+1=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$9y^2-10y+1=0,$$
$$D=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm8}{18}.$$
Отсюда $$y_1=1,\; y_2=\frac19.$$ Значит,
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,$$
$$x^2=\frac19 \Rightarrow x=\pm\frac13.$$
8) $$2x^4-5x^2+2=0$$
Положим $$x^2=y$$. Тогда
$$2y^2-5y+2=0,$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm3}{4}.$$
Получаем $$y_1=2,\; y_2=\frac12.$$ Следовательно,
$$x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2,$$
$$x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt2}.$$
Ответ
1) Верно. 2) Верно. 3) $$x=\pm5,\ \pm2$$. 4) $$x=\pm\sqrt5,\ \pm2$$. 5) $$x=\pm\sqrt6$$. 6) $$x=\pm\sqrt7$$. 7) $$x=\pm1,\ \pm\frac13$$. 8) $$x=\pm\sqrt2,\ \pm\frac{1}{\sqrt2}$$.
