Упр.774 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Сумма квадратов корней уравнения Зx2 + ах — 7 = 0 равна 46/9. Найдите значение а. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых — натуральные числа. Каких прямоугольников больше: с периметром 1000 или с периметром 1002?

Подробный ответ

Пусть корни уравнения $$3x^2+ax-7=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{a}{3}, \qquad x_1x_2=-\frac{7}{3}.$$

По условию

$$x_1^2+x_2^2=\frac{46}{9}.$$

Используем формулу

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Подставим найденные выражения:

$$
\frac{46}{9}=\left(-\frac{a}{3}\right)^2-2\left(-\frac{7}{3}\right)
=\frac{a^2}{9}+\frac{14}{3}.
$$

Тогда

$$
\frac{a^2}{9}=\frac{46}{9}-\frac{14}{3}
=\frac{46}{9}-\frac{42}{9}
=\frac{4}{9}.
$$

Следовательно,

$$a^2=4,$$

откуда

$$a=\pm 2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольники с натуральными сторонами.

Если периметр равен $$1000$$, то сумма двух соседних сторон равна $$500$$. Число таких прямоугольников равно количеству пар натуральных чисел $$a+b=500$$, то есть $$250$$.

Если периметр равен $$1002$$, то сумма двух соседних сторон равна $$501$$. Тогда число пар натуральных чисел $$a+b=501$$ тоже равно $$250$$.

Значит, в обоих случаях прямоугольников поровну.