Упр.772 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x2 = 9;
2) x2 = -9;
3) (4х + 1)2 = 9;
4) (х — 1)2 = 5;
5) корень x = 9;
6) корень x = -9.

Пусть корни уравнения $$2x^2-14x+9=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{14}{2}=7,\qquad x_1x_2=\frac{9}{2}.$$

Корни нового уравнения в 3 раза меньше, значит они равны

$$\frac{x_1}{3}\quad \text{и}\quad \frac{x_2}{3}.$$

Их сумма:

$$\frac{x_1}{3}+\frac{x_2}{3}=\frac{x_1+x_2}{3}=\frac{7}{3}.$$

Их произведение:

$$\frac{x_1}{3}\cdot \frac{x_2}{3}=\frac{x_1x_2}{9}=\frac{9/2}{9}=\frac12.$$

Тогда искомое уравнение имеет вид:

$$x^2-\frac{7}{3}x+\frac12=0.$$

Умножим обе части на $$6$$:

$$6x^2-14x+3=0.$$

Теперь решим уравнения:

1. $$x^2=9$$

   $$x=\pm 3.$$

2. $$x^2=-9$$

   Действительных корней нет.

3. $$\left(4x+1\right)^2=9$$

   $$4x+1=3 \quad \text{или} \quad 4x+1=-3$$

   $$4x=2 \quad \text{или} \quad 4x=-4$$

   $$x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

4. $$\left(x-1\right)^2=5$$

   $$x-1=\sqrt5 \quad \text{или} \quad x-1=-\sqrt5$$

   $$x=1+\sqrt5 \quad \text{или} \quad x=1-\sqrt5.$$

5. $$\sqrt{x}=9$$

   $$x=81.$$

6. $$\sqrt{x}=-9$$

   Действительных корней нет.

Ответ

$$6x^2-14x+3=0;$$

1) $$x=\pm 3$$; 2) корней нет; 3) $$x=\frac12,\,-1$$; 4) $$x=1\pm \sqrt5$$; 5) $$x=81$$; 6) корней нет.