Упр.768 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 1/x1 + 1/x2;
2) x1^2 + x2^2;
3) ((x1 — x2)2;
4) х1^3 + x2^3. Для каждого значения а решите уравнение (а2 + 7a — 8)x = а2 + 16a + 64.

Подробный ответ

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-9x+6=0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=9,\quad x_1x_2=6.$$

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$$
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9^2-2\cdot 6=81-12=69.$$
$$\left(x_1-x_2\right)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9^2-4\cdot 6=81-24=57.$$
$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right).$$
Так как $$x_1^2+x_2^2=69$$, то
$$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=69-6=63.$$
Следовательно,
$$x_1^3+x_2^3=9\cdot 63=567.$$

Теперь решим уравнение $$\left(a^2+7a-8\right)x=a^2+16a+64.$$

Разложим на множители:

$$a^2+7a-8=(a+8)(a-1),$$

$$a^2+16a+64=(a+8)^2.$$

Тогда

$$ (a+8)(a-1)x=(a+8)^2.$$

Рассмотрим случаи:

если $$a=-8$$, то получаем $$0\cdot x=0$$, значит, $$x$$ — любое число;
если $$a=1$$, то получаем $$0\cdot x=81$$, решений нет;
если $$a\ne -8$$ и $$a\ne 1$$, то можно разделить на $$a+8$$ и $$a-1$$:
$$x=\frac{a+8}{a-1}.$$