Упр.767 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 7×2 + 11x — 18 = 0;
2) 9×2 — 5x — 4 = 0. Для каждого значения a решите уравнение:
1) (а2 — а — 6)x = а2 — 9;
2) (а2 — 8a + 7)x = 2a2 — 1За — 7.

1) $$7x^2+11x-18=0$$

Разделим уравнение на $$7$$:

$$x^2+\frac{11}{7}x-\frac{18}{7}=0$$

По теореме, обратной теореме Виета, ищем числа $$x_1$$ и $$x_2$$ такие, что

$$x_1+x_2=-\frac{11}{7}, \qquad x_1x_2=-\frac{18}{7}.$$

Подходящая пара: $$x_1=1,\; x_2=-\frac{18}{7}.$$

Проверка: $$1+\left(-\frac{18}{7}\right)=-\frac{11}{7}, \quad 1\cdot\left(-\frac{18}{7}\right)=-\frac{18}{7}.$$

2) $$9x^2-5x-4=0$$

Разделим уравнение на $$9$$:

$$x^2-\frac{5}{9}x-\frac{4}{9}=0$$

Тогда

$$x_1+x_2=\frac{5}{9}, \qquad x_1x_2=-\frac{4}{9}.$$

Подходящая пара: $$x_1=1,\; x_2=-\frac{4}{9}.$$

Проверка: $$1+\left(-\frac{4}{9}\right)=\frac{5}{9}, \quad 1\cdot\left(-\frac{4}{9}\right)=-\frac{4}{9}.$$

3) $$\left(a^2-a-6\right)x=a^2-9$$

Разложим на множители:

$$\left(a+2\right)\left(a-3\right)x=\left(a-3\right)\left(a+3\right).$$

Рассмотрим случаи.

Если $$a=3$$, то получаем $$0\cdot x=0$$, значит, $$x$$ — любое число.

Если $$a=-2$$, то получаем $$0\cdot x=-5\cdot 1$$, то есть решений нет.

Если $$a\ne 3$$ и $$a\ne -2$$, то можно разделить на $$\left(a+2\right)\left(a-3\right)$$:

$$x=\frac{a+3}{a+2}.$$

4) $$\left(a^2-8a+7\right)x=2a^2-13a-7$$

Разложим на множители:

$$\left(a-1\right)\left(a-7\right)x=\left(2a+1\right)\left(a-7\right).$$

Рассмотрим случаи.

Если $$a=7$$, то получаем $$0\cdot x=0$$, значит, $$x$$ — любое число.

Если $$a=1$$, то получаем $$0\cdot x=-18$$, то есть решений нет.

Если $$a\ne 7$$ и $$a\ne 1$$, то

$$x=\frac{2a+1}{a-1}.$$

Ответ

1) $$x_1=1,\; x_2=-\frac{18}{7}.$$

2) $$x_1=1,\; x_2=-\frac{4}{9}.$$

3) При $$a=3$$ — любое $$x$$; при $$a=-2$$ — решений нет; при $$a\ne 3,\; a\ne -2$$ $$x=\frac{a+3}{a+2}.$$

4) При $$a=7$$ — любое $$x$$; при $$a=1$$ — решений нет; при $$a\ne 7,\; a\ne 1$$ $$x=\frac{2a+1}{a-1}.$$