Упр.750 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 2 и 5;
2) -1/3 и 2;
3) -0,2 и -10;
4) 2 — корень 3 и 2 + корень 3;
5) 0 и 6;
6) -корень 7 и корень 7?. Вася задумал три цифры: х, у, z. Петя называет три числа: а, b, с. Вася сообщает Пете значение выражения ах + by + сz. Какие числа должен назвать Петя, чтобы по полученной информации определить, какие цифры задумал Вася?

Подробный ответ

Если корни квадратного уравнения $$x_1$$ и $$x_2$$, то уравнение можно составить по формулам Виета:
$$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0.$$
1) $$x_1=2,\; x_2=5$$
$$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=10.$$
$$x^2-7x+10=0.$$
2) $$x_1=-\frac13,\; x_2=2$$
$$x_1+x_2=\frac53,\quad x_1x_2=-\frac23.$$
$$x^2-\frac53x-\frac23=0.$$
Умножим на $$3$$:
$$3x^2-5x-2=0.$$
3) $$x_1=-0{,}2,\; x_2=-10$$
$$x_1+x_2=-10{,}2,\quad x_1x_2=2.$$
$$x^2+10{,}2x+2=0.$$
Умножим на $$5$$:
$$5x^2+51x+10=0.$$
4) $$x_1=2-\sqrt3,\; x_2=2+\sqrt3$$
$$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=4-3=1.$$
$$x^2-4x+1=0.$$
5) $$x_1=0,\; x_2=6$$
$$x_1+x_2=6,\quad x_1x_2=0.$$
$$x^2-6x=0.$$
6) $$x_1=-\sqrt7,\; x_2=\sqrt7$$
$$x_1+x_2=0,\quad x_1x_2=-7.$$
$$x^2-7=0.$$
Чтобы по значению выражения $$ax+by+cz$$ можно было определить цифры $$x,y,z$$, нужно, чтобы это выражение задавало трёхзначное число из этих цифр:
$$100x+10y+z.$$
Значит, Петя должен назвать числа:
$$a=100,\quad b=10,\quad c=1.$$