Упр.744 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x2 + 6x — 32 = 0;
2) x2 — 10x + 4 = 0;
3) 2х2 — 6x + 3 = 0;
4) 10×2 + 42x + 25 = 0. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 + (а — 1)x — 2а = 0 равна 9?

1. Для квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:
   $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{c}{a}.$$

   1) $$x^2+6x-32=0$$

   $$x_1+x_2=-6, \qquad x_1x_2=-32.$$

   2) $$x^2-10x+4=0$$

   $$x_1+x_2=10, \qquad x_1x_2=4.$$

   3) $$2x^2-6x+3=0$$

   Разделим уравнение на $$2$$:

   $$x^2-3x+\frac{3}{2}=0.$$

   Тогда

   $$x_1+x_2=3, \qquad x_1x_2=\frac{3}{2}.$$

   4) $$10x^2+42x+25=0$$

   Разделим уравнение на $$10$$:

   $$x^2+\frac{21}{5}x+\frac{5}{2}=0.$$

   Следовательно,

   $$x_1+x_2=-\frac{21}{5}, \qquad x_1x_2=\frac{5}{2}.$$

2. Пусть корни уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

   $$x_1+x_2=-(a-1)=1-a, \qquad x_1x_2=-2a.$$

   По условию:

   $$x_1^2+x_2^2=9.$$

   Используем формулу

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

   Подставим значения:

   $$(1-a)^2-2(-2a)=9$$
   $$a^2-2a+1+4a=9$$
   $$a^2+2a-8=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
   $$a=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

   Получаем:

   $$a_1=2, \qquad a_2=-4.$$

   Проверим:

   при $$a=2$$ уравнение имеет корни, а при $$a=-4$$

   $$x^2-5x+8=0,$$

   у него нет действительных корней. Значит, подходит только $$a=2$$.

Ответ

1) $$x_1+x_2=-6,\; x_1x_2=-32$$; 2) $$x_1+x_2=10,\; x_1x_2=4$$; 3) $$x_1+x_2=3,\; x_1x_2=\frac{3}{2}$$; 4) $$x_1+x_2=-\frac{21}{5},\; x_1x_2=\frac{5}{2}$$; $$a=2$$.