Упр.739 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x2 — 4x — 12 = 0;
2) x2 + 9x + 14 = 0 . Верно ли утверждение:
1) уравнение 7×2 + 4х — a2 — 1 = 0 имеет корни разных знаков при любом значении а;
2) если уравнение х2 + 6x + а2 + 4 = 0 имеет корни, то независимо от значения а они оба отрицательны?

1. $$x^2-4x-12=0$$

   Найдём корни уравнения:

   $$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 8}{2}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=6$$

   Сумма и произведение корней:

   $$x_1+x_2=-2+6=4,\qquad x_1x_2=-2\cdot 6=-12$$

   Проверка: $$x_1+x_2=-b=4,\quad x_1x_2=c=-12.$$

2. $$x^2+9x+14=0$$

   Найдём корни уравнения:

   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot 14=81-56=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm 5}{2}$$

   $$x_1=-7,\quad x_2=-2$$

   Сумма и произведение корней:

   $$x_1+x_2=-7+(-2)=-9,\qquad x_1x_2=(-7)\cdot(-2)=14$$

   Проверка: $$x_1+x_2=-b=-9,\quad x_1x_2=c=14.$$

3. $$7x^2+4x-a^2-1=0$$

   Здесь $$x_1+x_2=-\frac{4}{7},\quad x_1x_2=\frac{-a^2-1}{7}.$$

   Так как $$a^2+1>0$$ при любом $$a$$, то

   $$x_1x_2=-\frac{a^2+1}{7}<0.$$

   Следовательно, корни имеют разные знаки.

4. $$x^2+6x+a^2+4=0$$

   Если уравнение имеет корни, то

   $$D=36-4(a^2+4)=20-4a^2\ge 0.$$

   При этом

   $$x_1+x_2=-6<0,\qquad x_1x_2=a^2+4>0.$$

   Значит, оба корня отрицательны.

Ответ

1) $$x_1=-2,\ x_2=6$$; $$x_1+x_2=4$$, $$x_1x_2=-12$$.
2) $$x_1=-7,\ x_2=-2$$; $$x_1+x_2=-9$$, $$x_1x_2=14$$.
3) Верно.
4) Верно.