Упр.738 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: В книге недостаёт нескольких листов. На левой странице разворота стоит номер страницы 24, а на правой — номер 53. Сколько листов недостаёт между этими страницами? Корни x1 и х2 уравнения х2 — ах + 8 = 0 удовлетворяют условию x1/x2 + x2/x1 = 5/2. Найдите значение а.

Пусть корни уравнения $$x^2-ax+8=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=a,\qquad x_1x_2=8.$$

По условию:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{5}{2}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}.$$

Тогда

$$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{5}{2}.$$

Но

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=a^2-16.$$

Подставим:

$$\frac{a^2-16}{8}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$8$$:

$$a^2-16=20,$$

$$a^2=36,$$

$$a=\pm 6.$$

Ответ

$$a=\pm 6.$$