Упр.737 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5% и 45% никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30-процентным содержанием никеля? Сумма квадратов корней уравнения Зx2 + ах — 7 = 0 равна 46/9. Найдите значение а.
Пусть $$x$$ т — масса сплава первого сорта, а $$y$$ т — масса сплава второго сорта. Тогда составим систему:
$$
\begin{cases}
x+y=120,\\
0{,}05x+0{,}45y=0{,}3\cdot 120.
\end{cases}
$$
Умножим второе уравнение на $$20$$:
$$
\begin{cases}
x+y=120,\\
x+9y=720.
\end{cases}
$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$
8y=600,\qquad y=75.
$$
Тогда
$$
x=120-75=45.
$$
Значит, нужно взять $$45$$ т сплава первого сорта и $$75$$ т сплава второго сорта.
Теперь решим уравнение $$3x^2+ax-7=0$$. Пусть его корни $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:
$$
x_1+x_2=-\frac{a}{3},\qquad x_1x_2=-\frac{7}{3}.
$$
По условию:
$$
x_1^2+x_2^2=\frac{46}{9}.
$$
Используем формулу:
$$
x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.
$$
Подставим:
$$
\frac{46}{9}=\left(-\frac{a}{3}\right)^2-2\left(-\frac{7}{3}\right)
=\frac{a^2}{9}+\frac{14}{3}.
$$
Приведём к общему знаменателю:
$$
\frac{46}{9}=\frac{a^2}{9}+\frac{42}{9}.
$$
Тогда
$$
\frac{a^2}{9}=\frac{4}{9},\qquad a^2=4,\qquad a=\pm 2.
$$
Ответ
$$45\text{ т и }75\text{ т};\quad a=\pm 2.$$
