Упр.735 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Найдите значение выражения (a^-3)^3 / (a^-2*a^-5) при а = 1/3. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения 2×2 — 14x + 9 = 0.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$
\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2}\cdot a^{-5}}=\frac{a^{-9}}{a^{-7}}=a^{-2}.
$$

При $$a=\frac13$$ получаем:

$$
a^{-2}=\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9.
$$

2) Найдём корни уравнения $$2x^2-14x+9=0$$:

$$
D=(-14)^2-4\cdot 2\cdot 9=196-72=124.
$$

$$
x_{1,2}=\frac{14\pm \sqrt{124}}{4}=\frac{14\pm 2\sqrt{31}}{4}=\frac{7\pm \sqrt{31}}{2}.
$$

Корни нового уравнения в 3 раза меньше, значит:

$$
x_1’=\frac{7+\sqrt{31}}{6}, \qquad x_2’=\frac{7-\sqrt{31}}{6}.
$$

Составим уравнение по теореме Виета:

$$
x_1’+x_2’=\frac{7+\sqrt{31}}{6}+\frac{7-\sqrt{31}}{6}=\frac{7}{3},
$$
$$
x_1’x_2’=\frac{(7+\sqrt{31})(7-\sqrt{31})}{36}=\frac{49-31}{36}=\frac12.
$$

Тогда искомое уравнение:

$$
x^2-\frac{7}{3}x+\frac12=0.
$$

Умножим на 6:

$$
6x^2-14x+3=0.
$$