Упр.733 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) bх2 + x + b = 0;
2) (b + З)x2 + (b + 1)x — 2 = 0?
Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения х2 + 8x — 3 = 0.

Подробный ответ

Уравнение $$bx^2+x+b=0$$ имеет единственный корень, если:
либо $$D=0$$, либо уравнение линейное.
Найдём дискриминант:
$$D=1-4b^2.$$
При $$D=0$$ получаем:
$$1-4b^2=0,$$
$$4b^2=1,$$
$$b^2=\frac14,$$
$$b=\pm \frac12.$$
Если $$b=0,$$ то уравнение становится линейным:
$$x=0,$$
то есть тоже имеет единственный корень.
Значит, $$b=0,\; b=\pm \frac12.$$
Рассмотрим уравнение $$\left(b+3\right)x^2+\left(b+1\right)x-2=0.$$
Чтобы оно имело единственный корень, нужно либо $$D=0,$$ либо уравнение было линейным.
Найдём дискриминант:
$$D=\left(b+1\right)^2-4\left(b+3\right)\cdot(-2).$$
$$D=\left(b+1\right)^2+8\left(b+3\right)=b^2+2b+1+8b+24=b^2+10b+25.$$
При $$D=0$$:
$$b^2+10b+25=0,$$
$$\left(b+5\right)^2=0,$$
$$b=-5.$$
Если $$b+3=0,$$ то уравнение становится линейным:
$$b=-3.$$
Следовательно, $$b=-5,\; b=-3.$$
Пусть корни уравнения $$x^2+8x-3=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда
$$x_1+x_2=-8,\qquad x_1x_2=-3.$$
Новые корни на 2 меньше соответствующих:
$$x_1’=x_1-2,\qquad x_2’=x_2-2.$$
Их сумма:
$$x_1’+x_2’=(x_1+x_2)-4=-8-4=-12.$$
Их произведение:
$$x_1’x_2’=(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4,$$
$$x_1’x_2’=-3-2(-8)+4=17.$$
Значит, искомое уравнение:
$$x^2+12x+17=0.$$