Упр.732 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) bх2 — 6x — 7 = 0;
2) (b + 5)х2- (b + 6)х + 3 = 0;
3) (b — 4)х2 + (2b — 8)x + 15 = 0? Известно, что x1 и x2 — корни уравнения х2 + 5x — 16 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) x1^2 x2 + x2^2 x1;
2) x2/x1 + x1/x2;
3) |x2 — x1|.

1. Уравнение $$bx^2-6x-7=0$$ имеет единственный корень, если либо $$D=0$$, либо это линейное уравнение.

   Если $$b\neq 0$$, то

   $$D=(-6)^2-4\cdot b\cdot(-7)=36+28b.$$

   Тогда

   $$36+28b=0,$$

   $$b=-\frac{36}{28}=-\frac{9}{7}.$$

   Если $$b=0$$, получаем линейное уравнение

   $$-6x-7=0,$$

   у которого тоже один корень.

   Ответ: $$b=-\frac{9}{7}$$ или $$b=0$$.

2. Для уравнения $$\left(b+5\right)x^2-\left(b+6\right)x+3=0$$ единственный корень будет при $$D=0$$ или при исчезновении квадратного коэффициента.

   Найдём дискриминант:

   $$D=\left(b+6\right)^2-4\cdot\left(b+5\right)\cdot 3$$

   $$D=b^2+12b+36-12b-60=b^2-24.$$

   При $$D=0$$:

   $$b^2-24=0,$$

   $$b=\pm 2\sqrt{6}.$$

   Если $$b+5=0,$$ то $$b=-5$$ и уравнение становится линейным:

   $$-x+3=0,$$

   у которого один корень.

   Ответ: $$b=-5,\ \pm 2\sqrt{6}$$.

3. Для уравнения $$\left(b-4\right)x^2+\left(2b-8\right)x+15=0$$ имеем

   $$D=\left(2b-8\right)^2-4\cdot\left(b-4\right)\cdot 15.$$

   $$D=4b^2-32b+64-60b+240=4b^2-92b+304.$$

   При $$D=0$$:

   $$4b^2-92b+304=0,$$

   $$b^2-23b+76=0.$$

   $$D_1=23^2-4\cdot 76=529-304=225,$$

   $$b=\frac{23\pm 15}{2}.$$

   Получаем $$b=4$$ или $$b=19$$. Значение $$b=4$$ не подходит, так как тогда уравнение становится $$0x^2+0x+15=0$$, что не имеет корней.

   Ответ: $$b=19$$.

4. Для уравнения $$x^2+5x-16=0$$ по теореме Виета:

   $$x_1+x_2=-5,\qquad x_1x_2=-16.$$

   1)

   $$x_1^2x_2+x_2^2x_1=x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=-16\cdot(-5)=80.$$

   2)

   $$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}.$$

   $$\frac{\left(-5\right)^2-2\cdot(-16)}{-16}=\frac{25+32}{-16}=-\frac{57}{16}.$$

   3)

   $$|x_2-x_1|=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}.$$

   $$|x_2-x_1|=\sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot(-16)}=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}.$$

   Ответ: 1) $$80$$; 2) $$-\frac{57}{16}$$; 3) $$\sqrt{89}$$.