Упр.731 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) x2 — (2а — b)х — За2 + 5а = 0;
2) x2 + (За — 4)х — 12а = 0;
3) ах2 — (а + 1)x + 1 = 0. Известно, что x1 и x2 — корни уравнения х2 — 9x + 6 = 0. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) 1/x1 + 1/x2;
2) x1^2 + x2^2;
3) ((x1 — x2)2;
4) х1^3 + x2^3.

1) Решим уравнение $$x^2-(2a-5)x-3a^2+5a=0.$$

$$
D=(2a-5)^2-4(-3a^2+5a)=4a^2-20a+25+12a^2-20a=16a^2-40a+25=(4a-5)^2.
$$

Тогда

$$
x_{1,2}=\frac{2a-5\pm(4a-5)}{2}.
$$

$$
x_1=\frac{2a-5-(4a-5)}{2}=-a,\qquad
x_2=\frac{2a-5+(4a-5)}{2}=3a-5.
$$

Ответ: $$x=-a,\; x=3a-5.$$

2) Решим уравнение $$x^2+(3a-4)x-12a=0.$$

$$
D=(3a-4)^2+48a=9a^2-24a+16+48a=9a^2+24a+16=(3a+4)^2.
$$

Тогда

$$
x_{1,2}=\frac{-(3a-4)\pm(3a+4)}{2}.
$$

$$
x_1=\frac{-3a+4-(3a+4)}{2}=-3a,\qquad
x_2=\frac{-3a+4+(3a+4)}{2}=4.
$$

Ответ: $$x=-3a,\; x=4.$$

3) Решим уравнение $$ax^2-(a+1)x+1=0.$$

$$
D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.
$$

Если $$a\ne 0,$$ то

$$
x_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2a}.
$$

$$
x_1=\frac{a+1-(a-1)}{2a}=\frac{1}{a},\qquad
x_2=\frac{a+1+(a-1)}{2a}=1.
$$

При $$a=0$$ уравнение становится линейным: $$-x+1=0,$$ откуда $$x=1.$$

Ответ: при $$a\ne 0$$ $$x=\frac{1}{a},\; x=1$$; при $$a=0$$ $$x=1.$$

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-9x+6=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$
x_1+x_2=9,\qquad x_1x_2=6.
$$

1) $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$$

2) $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9^2-2\cdot 6=81-12=69.$$

3) $$
(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9^2-4\cdot 6=81-24=57.
$$

4) $$
x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=9^3-3\cdot 6\cdot 9=729-162=567.
$$

Ответ

1) $$x=-a,\; x=3a-5$$; 2) $$x=-3a,\; x=4$$; 3) при $$a\ne 0$$ $$x=\frac{1}{a},\; x=1$$, при $$a=0$$ $$x=1$$; 4) $$\frac{3}{2}$$; 5) $$69$$; 6) $$57$$; 7) $$567$$.