Упр.730 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) х2 + (За + 1)x + 2а2 + а = 0;
2) x2 — (2а + 4)х + 8а = 0;
3) а2×2 — 24ах — 25 = 0;
4) 3(2а — 1)x2 — 2(а + 1)х + 1 = 0. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:
1) 7×2 + 11x — 18 = 0;
2) 9×2 — 5x — 4 = 0.

1. $$x^2+(3a+1)x+2a^2+a=0$$

   $$D=(3a+1)^2-4(2a^2+a)=9a^2+6a+1-8a^2-4a=a^2+2a+1=(a+1)^2$$

   $$\sqrt{D}=|a+1|$$

   Тогда

   $$x_{1,2}=\frac{-(3a+1)\pm |a+1|}{2}$$

   Проверим корни по Виету: сумма корней равна $$-(3a+1)$$, произведение равно $$2a^2+a=a(2a+1)$$. Подходят числа $$-2a-1$$ и $$-a$$, так как

   $$(-2a-1)+(-a)=-(3a+1), \qquad (-2a-1)(-a)=2a^2+a.$$

   Значит, $$x=-2a-1$$ и $$x=-a$$.

2. $$x^2-(2a+4)x+8a=0$$

   $$D=(2a+4)^2-4\cdot 8a=4a^2+16a+16-32a=4a^2-16a+16=(2a-4)^2$$

   $$\sqrt{D}=|2a-4|$$

   Тогда корни уравнения:

   $$x_{1,2}=\frac{2a+4\pm |2a-4|}{2}$$

   Проверим подходящие значения:

   $$4+2a-4=2a, \qquad 2a+4-(2a-4)=8.$$

   Следовательно, корни: $$x=2a$$ и $$x=4$$.

3. $$a^2x^2-24ax-25=0$$

   Если $$a=0$$, получаем $$-25=0$$ — решений нет.

   Если $$a\ne 0$$, то

   $$D=(-24a)^2-4\cdot a^2\cdot(-25)=576a^2+100a^2=676a^2$$

   $$\sqrt{D}=26|a|$$

   Тогда

   $$x_{1,2}=\frac{24a\pm 26a}{2a^2}$$

   Получаем

   $$x_1=\frac{24a-26a}{2a^2}=-\frac{1}{a}, \qquad x_2=\frac{24a+26a}{2a^2}=\frac{25}{a}.$$

4. $$3(2a-1)x^2-2(a+1)x+1=0$$

   Если $$a=\frac12$$, то уравнение превращается в линейное:

   $$-3x+1=0,\qquad x=\frac13.$$

   Если $$a\ne \frac12$$, то

   $$D=[-2(a+1)]^2-4\cdot 3(2a-1)=4(a+1)^2-12(2a-1)=4a^2-16a+16=(2a-4)^2$$

   $$\sqrt{D}=|2a-4|$$

   Тогда

   $$x_{1,2}=\frac{2(a+1)\pm (2a-4)}{6(2a-1)}$$

   Отсюда

   $$x_1=\frac{4a-2}{6(2a-1)}=\frac13,\qquad x_2=\frac{6}{6(2a-1)}=\frac{1}{2a-1}.$$

5. $$7x^2+11x-18=0$$

   По теореме, обратной теореме Виета, подбираем числа с произведением $$-\frac{18}{7}$$ и суммой $$-\frac{11}{7}$$:

   $$1 \text{ и } -\frac{18}{7}.$$

   Значит, корни уравнения: $$x=1$$ и $$x=-\frac{18}{7}$$.

6. $$9x^2-5x-4=0$$

   После деления на $$9$$ получаем:

   $$x^2-\frac{5}{9}x-\frac{4}{9}=0$$

   Ищем числа с произведением $$-\frac{4}{9}$$ и суммой $$-\frac{5}{9}$$:

   $$1 \text{ и } -\frac{4}{9}.$$

   Следовательно, корни: $$x=1$$ и $$x=-\frac{4}{9}$$.

Ответ

1) $$x=-2a-1,\; x=-a$$;
2) $$x=2a,\; x=4$$;
3) при $$a\ne 0$$: $$x=-\frac{1}{a},\; x=\frac{25}{a}$$; при $$a=0$$ решений нет;
4) при $$a\ne \frac12$$: $$x=\frac13,\; x=\frac{1}{2a-1}$$; при $$a=\frac12$$: $$x=\frac13$$;
5) $$x=-\frac{18}{7},\; x=1$$;
6) $$x=-\frac49,\; x=1$$.