Упр.729 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:
1) 2×2 — 5x + 3 = 0;
2) 2×2 + 5x + 3 = 0;
3) 16×2 — 23x + 7 = 0;
4) -8×2 — 10x + 27 = 0.

Для уравнения $$x^2+bx-7=0$$ дискриминант равен

$$D=b^2-4\cdot 1\cdot(-7)=b^2+28.$$

Так как $$b^2+28>0$$ при любом значении $$b,$$ то уравнение всегда имеет два различных корня.

Найдём корни по теореме, обратной теореме Виета.

1. $$2x^2-5x+3=0$$

   Пусть корни $$x_1$$ и $$x_2.$$ Тогда

   $$x_1+x_2=\frac{5}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{3}{2}.$$

   Подходящая пара чисел: $$1$$ и $$\frac{3}{2}.$$

   Проверка: $$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}, \quad 1\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$

2. $$2x^2+5x+3=0$$

   Тогда

   $$x_1+x_2=-\frac{5}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{3}{2}.$$

   Подходящая пара чисел: $$-1$$ и $$-\frac{3}{2}.$$

   Проверка: $$-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}, \quad (-1)\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}.$$

3. $$16x^2-23x+7=0$$

   Тогда

   $$x_1+x_2=\frac{23}{16}, \qquad x_1x_2=\frac{7}{16}.$$

   Подходящая пара чисел: $$1$$ и $$\frac{7}{16}.$$

   Проверка: $$1+\frac{7}{16}=\frac{23}{16}, \quad 1\cdot \frac{7}{16}=\frac{7}{16}.$$

4. $$-8x^2-10x+27=0$$

   Умножим уравнение на $$-1$$:

   $$8x^2+10x-27=0.$$

   Тогда

   $$x_1+x_2=-\frac{5}{4}, \qquad x_1x_2=-\frac{27}{8}.$$

   Подходящая пара чисел: $$\frac{3}{2}$$ и $$-\frac{9}{4}.$$

   Проверка: $$\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}, \quad \frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{9}{4}\right)=-\frac{27}{8}.$$

Ответ

При любом значении $$b$$ уравнение $$x^2+bx-7=0$$ имеет два различных корня.

1) $$x_1=1,\; x_2=\frac{3}{2}$$; 2) $$x_1=-1,\; x_2=-\frac{3}{2}$$; 3) $$x_1=1,\; x_2=\frac{7}{16}$$; 4) $$x_1=\frac{3}{2},\; x_2=-\frac{9}{4}$$.