Упр.728 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) х2 + mх + m2 + 1 = 0;
2) х2 — 2mх + 2m2 + 9 = 0. Корни x1 и x2 уравнения x2 + 4x + n = 0 удовлетворяют условию 3×1 — x2 = 8. Найдите корни уравнения и значение n.

1) Рассмотрим уравнение $$x^2+mx+m^2+1=0.$$ Его дискриминант равен

$$D=m^2-4(m^2+1)=m^2-4m^2-4=-3m^2-4.$$

Так как $$-3m^2-4<0$$ при любом значении $$m,$$ то уравнение не имеет корней.

2) Рассмотрим уравнение $$x^2-2mx+2m^2+9=0.$$ Его дискриминант равен

$$D=(-2m)^2-4(2m^2+9)=4m^2-8m^2-36=-4m^2-36.$$

Так как $$-4m^2-36<0$$ при любом значении $$m,$$ то уравнение не имеет корней.

3) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+4x+n=0.$$ Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-4,\qquad x_1x_2=n.$$

По условию $$3x_1-x_2=8.$$ Решим систему:

$$
\begin{cases}
x_1+x_2=-4,\\
3x_1-x_2=8.
\end{cases}
$$

Сложим уравнения:

$$4x_1=4,\qquad x_1=1.$$

Тогда

$$x_2=-4-1=-5.$$

Найдём $$n$$:

$$n=x_1x_2=1\cdot(-5)=-5.$$

Ответ

1) Корней нет; 2) корней нет; 3) $$x_1=1,$$ $$x_2=-5,$$ $$n=-5.$$