Упр.727 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) 4х2 — рх — 3 = 0;
2) х2 + рх + р — 2 = 0. Корни x1 и x2, уравнения х2 — 7x + m = 0 удовлетворяют условию 2×1 — 5×2 = 28. Найдите корни уравнения и значение m.

1) Для квадратного уравнения $$4x^2-px-3=0$$ найдём дискриминант:

$$D=(-p)^2-4\cdot 4\cdot(-3)=p^2+48.$$

Так как $$p^2+48>0$$ при любом значении $$p$$, уравнение всегда имеет два различных корня.

2) Для уравнения $$x^2+px+p-2=0$$ дискриминант равен:

$$D=p^2-4(p-2)=p^2-4p+8=(p-2)^2+4.$$

Поскольку $$ (p-2)^2+4>0 $$ при любом $$p$$, это уравнение тоже имеет два различных корня.

3) Пусть корни уравнения $$x^2-7x+m=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=7,\qquad x_1x_2=m.$$

Из условия $$2x_1-5x_2=28$$ выразим $$x_1$$:

$$x_1=7-x_2.$$

Подставим в уравнение:

$$2(7-x_2)-5x_2=28$$

$$14-7x_2=28$$

$$-7x_2=14$$

$$x_2=-2.$$

Тогда

$$x_1=7-(-2)=9.$$

Найдём $$m$$:

$$m=x_1x_2=9\cdot(-2)=-18.$$

Ответ

1) Уравнение имеет два корня при любом $$p$$.
2) Уравнение имеет два корня при любом $$p$$.
3) $$x_1=9,\ x_2=-2,\ m=-18.$$