Упр.724 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 6×2 + 5x — 1/(x + 1) = 1 — 1/(x + 1);
2) 5×2 — 14(корень x)2 — 3 = 0. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков:
1) x2 — 12x + 14= 0;
2) x2 + 6x — 42 = 0;
3) x2 — 7x — 30 = 0;
4) x2 + 16x + 10 = 0;
5) x2 — 24x + 0,1 = 0;
6) x2 + 20x + 3 = 0?

Подробный ответ

$$6x^2+5x-\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}, \quad x\ne -1$$
Перенесём дроби в одну сторону:
$$6x^2+5x-1=0$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{12}$$
$$x_1=\frac{1}{6}, \quad x_2=-1$$
Так как $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, остаётся корень $$x=\frac{1}{6}$$.
$$5x^2-14(\sqrt{x})^2-3=0$$
Так как $$x\ge 0$$ и $$\left(\sqrt{x}\right)^2=x$$, получаем:
$$5x^2-14x-3=0$$
$$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=196+60=256$$
$$x_{1,2}=\frac{14\pm 16}{10}$$
$$x_1=3,\quad x_2=-\frac{1}{5}$$
С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=3$$.

Ответ

1) $$x=\frac{1}{6}$$; 2) $$x=3$$.

Для уравнения $$x^2-12x+14=0$$:
$$x_1+x_2=12,\quad x_1x_2=14$$
Сумма и произведение положительные, значит оба корня положительные.
Для уравнения $$x^2+6x-42=0$$:
$$x_1+x_2=-6,\quad x_1x_2=-42$$
Произведение отрицательное, значит корни разных знаков.
Для уравнения $$x^2-7x-30=0$$:
$$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=-30$$
Произведение отрицательное, значит корни разных знаков.
Для уравнения $$x^2+16x+10=0$$:
$$x_1+x_2=-16,\quad x_1x_2=10$$
Сумма и произведение положительные, а сумма отрицательная, значит оба корня отрицательные.
Для уравнения $$x^2-24x+0{,}1=0$$:
$$x_1+x_2=24,\quad x_1x_2=0{,}1$$
Сумма и произведение положительные, значит оба корня положительные.
Для уравнения $$x^2+20x+3=0$$:
$$x_1+x_2=-20,\quad x_1x_2=3$$
Сумма и произведение положительные, а сумма отрицательная, значит оба корня отрицательные.