Упр.722 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
1) x2 — 5x + 4 = 0;
2) x2 + 5x + 4 = 0;
3) x2 — 4х — 5 = 0;
4) х2 + 4x — 5 = 0;
5) x2 — 9x + 20 = 0;
6) х2 — х — 2 = 0;
7) х2 + 2x — 8 = 0;
8) х2 — 3x — 18 = 0.
Пусть многоугольник имеет $$n$$ сторон. Тогда из одной вершины можно провести $$n-3$$ диагонали, а всего диагоналей у него
$$\frac{n(n-3)}{2}.$$
По условию:
$$\frac{n(n-3)}{2}=90.$$
Умножим на $$2$$:
$$n(n-3)=180,$$
$$n^2-3n-180=0.$$
Найдём корни уравнения:
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-180)=9+720=729,$$
$$\sqrt{D}=27.$$
$$n_{1,2}=\frac{3\pm 27}{2}.$$
Тогда
$$n_1=\frac{3-27}{2}=-12,$$
$$n_2=\frac{3+27}{2}=15.$$
Так как число сторон должно быть положительным, получаем $$n=15$$.
Решим уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
$$x^2-5x+4=0$$
$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=4.$$
$$x_1=1,\quad x_2=4.$$
$$x^2+5x+4=0$$
$$x_1+x_2=-5,\quad x_1x_2=4.$$
$$x_1=-1,\quad x_2=-4.$$
$$x^2-4x-5=0$$
$$x_1+x_2=4,\quad x_1x_2=-5.$$
$$x_1=5,\quad x_2=-1.$$
$$x^2+4x-5=0$$
$$x_1+x_2=-4,\quad x_1x_2=-5.$$
$$x_1=-5,\quad x_2=1.$$
$$x^2-9x+20=0$$
$$x_1+x_2=9,\quad x_1x_2=20.$$
$$x_1=4,\quad x_2=5.$$
$$x^2-x-2=0$$
$$x_1+x_2=1,\quad x_1x_2=-2.$$
$$x_1=2,\quad x_2=-1.$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$x_1+x_2=-2,\quad x_1x_2=-8.$$
$$x_1=-4,\quad x_2=2.$$
$$x^2-3x-18=0$$
$$x_1+x_2=3,\quad x_1x_2=-18.$$
$$x_1=6,\quad x_2=-3.$$
Ответ
15 сторон; 1) $$x=1,4$$; 2) $$x=-4,-1$$; 3) $$x=-1,5$$; 4) $$x=-5,1$$; 5) $$x=4,5$$; 6) $$x=-1,2$$; 7) $$x=-4,2$$; 8) $$x=-3,6$$.
