Упр.721 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: В футбольном турнире было сыграно 36 матчей. Сколько команд участвовало в турнире, если каждая команда сыграла по одному разу с каждой из остальных команд? При каком значении b корни уравнения х2 + bх — 17 = 0 являются противоположными числами? Найдите эти корни.

1) Пусть в турнире участвовало $$x$$ команд. Тогда каждая команда сыграла с каждой из остальных по одному разу, значит число матчей равно

$$\frac{x(x-1)}{2}.$$

По условию:

$$\frac{x(x-1)}{2}=36.$$

Умножим на $$2$$:

$$x(x-1)=72,$$

$$x^2-x-72=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-72)=1+288=289,$$

$$\sqrt{D}=17.$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 17}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=9,\quad x_2=-8.$$

Так как число команд не может быть отрицательным, подходит только $$x=9$$.

2) Для уравнения $$x^2+bx-17=0$$ корни являются противоположными числами, значит

$$x_1=-x_2.$$

Тогда их сумма равна нулю:

$$x_1+x_2=0.$$

По теореме Виета для уравнения $$x^2+bx-17=0$$ имеем

$$x_1+x_2=-b.$$

Следовательно,

$$-b=0,\quad b=0.$$

При $$b=0$$ уравнение принимает вид

$$x^2-17=0,$$

откуда

$$x=\pm\sqrt{17}.$$

Значит, корни: $$\sqrt{17}$$ и $$-\sqrt{17}$$.

Ответ

$$9$$ команд; при $$b=0$$, корни $$\sqrt{17}$$ и $$-\sqrt{17}$$.