Упр.717 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня. Число 1/3 является корнем уравнения 6х2 — bх + 4 = 0. Найдите значение b и второй корень уравнения.

Пусть квадратное уравнение имеет вид $$ax^2+bx+c=0.$$ Если старший коэффициент и свободный член имеют разные знаки, то $$ac<0.$$

Тогда дискриминант

$$D=b^2-4ac=b^2+4|ac|>0.$$

Значит, уравнение имеет два различных корня.

Теперь найдём $$b$$ и второй корень уравнения $$6x^2-bx+4=0,$$ если $$x_1=\frac13.$$ Подставим $$x=\frac13$$ в уравнение:

$$6\left(\frac13\right)^2-b\cdot\frac13+4=0$$

$$6\cdot\frac19-\frac b3+4=0$$

$$\frac23-\frac b3+4=0$$

$$2-b+12=0$$

$$b=14.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$6x^2-14x+4=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1x_2=\frac{4}{6}=\frac23.$$

Так как $$x_1=\frac13,$$ то

$$x_2=\frac{2}{3}:\frac13=2.$$

Ответ

Если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня. $$b=14,$$ второй корень $$x_2=2.$$