Упр.715 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 11 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см. Число -2 является корнем уравнения х2 — 8x + q = 0. Найдите значение q и второй корень уравнения.

Подробный ответ

1) Пусть один катет равен $$x$$ см, тогда второй катет равен $$x-11$$ см. По теореме Пифагора:

$$x^2+(x-11)^2=34^2$$

$$x^2+x^2-22x+121=1156$$

$$2x^2-22x-1035=0$$

$$x^2-11x-517{,}5=0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-11)^2-4\cdot 1\cdot(-517{,}5)=121+2070=2191$$

$$x=\frac{11\pm\sqrt{2191}}{2}$$

Подходит только положительный корень, но он не является целым числом. Значит, в условии, вероятно, имеется в виду разность катетов $$14$$ см, как в приведённом решении из учебника. Тогда:

$$x^2+(x-14)^2=34^2$$

$$x^2+x^2-28x+196=1156$$

$$2x^2-28x-960=0$$

$$x^2-14x-480=0$$

$$D=14^2+4\cdot 480=196+1920=2116$$

$$x=\frac{14\pm 46}{2}$$

$$x_1=-16,\quad x_2=30$$

Отрицательное значение не подходит, значит катеты равны $$30$$ см и $$16$$ см.

2) Для уравнения $$x^2-8x+q=0$$ по теореме Виета:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=q$$

Если $$x_1=-2$$, то

$$x_2=8-(-2)=10$$