Упр.712 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {y^2 — x = 14, x — y = -2;
2) {y — 2x^2 = 2, 3x + y = 1. Найдите коэффициенты b и c уравнения х2 + bх + с = 0, если его корнями являются числа:
1) -2 и 0,5;
2) -10 и -20.

Подробный ответ

Решим систему методом подстановки:
$$
\begin{cases}
y^2-x=14,\\
x-y=-2.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения:
$$x=y-2.$$
Подставим в первое уравнение:
$$
y^2-(y-2)=14
$$
$$
y^2-y+2-14=0
$$
$$
y^2-y-12=0.
$$
Найдём корни квадратного уравнения:
$$
D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=1+48=49.
$$
$$
y_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm 7}{2}.
$$
$$
y_1=-3,\quad y_2=4.
$$
Тогда:
$$
x_1=y_1-2=-3-2=-5,\qquad x_2=y_2-2=4-2=2.
$$
Получаем решения системы: $$(-5;\,-3)$$ и $$(2;\,4)$$.
Решим систему:
$$
\begin{cases}
y-2x^2=2,\\
3x+y=1.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения:
$$y=1-3x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$
(1-3x)-2x^2=2
$$
$$
2x^2+3x+1=0.
$$
Найдём корни:
$$
D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.
$$
$$
x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm 1}{4}.
$$
$$
x_1=-1,\quad x_2=-0{,}5.
$$
Тогда:
$$
y_1=1-3(-1)=4,\qquad y_2=1-3(-0{,}5)=2{,}5.
$$
Получаем решения системы: $$(-1;\,4)$$ и $$(-0{,}5;\,2{,}5)$$.
Для уравнения $$x^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:
$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c.$$
1) Если корни $$-2$$ и $$0{,}5$$, то
$$
-2+0{,}5=-b \Rightarrow -1{,}5=-b \Rightarrow b=1{,}5,
$$
$$
(-2)\cdot 0{,}5=c \Rightarrow c=-1.
$$
2) Если корни $$-10$$ и $$-20$$, то
$$
-10+(-20)=-b \Rightarrow -30=-b \Rightarrow b=30,
$$
$$
(-10)\cdot(-20)=c \Rightarrow c=200.
$$