Упр.711 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) {y = x + 3, x^2 — 2y = 9;
2) {x + y = 5, xy = 4;
3) {x — 4y = 2, xy + 2y = 8;
4) {x^2 + y^2 = 8, 3x + y = 4. Найдите коэффициенты b и c уравнения х2 + bх + c = 0, если его корнями являются числа:
1) -8 и 6;
2) 4 и 5.

Подробный ответ

$$
\begin{cases}
y=x+3,\\
x^2-2y=9
\end{cases}
$$
Подставим $$y=x+3$$ во второе уравнение:
$$
x^2-2(x+3)=9
$$
$$
x^2-2x-6-9=0
$$
$$
x^2-2x-15=0
$$
$$
D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64
$$
$$
x_1=\frac{2-\sqrt{64}}{2}=-3,\qquad x_2=\frac{2+\sqrt{64}}{2}=5
$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$
y_1=-3+3=0,\qquad y_2=5+3=8
$$
$$
(-3;0),\ (5;8)
$$
$$
\begin{cases}
x+y=5,\\
xy=4
\end{cases}
$$
Выразим $$y$$:
$$
y=5-x
$$
Подставим во второе уравнение:
$$
x(5-x)=4
$$
$$
x^2-5x+4=0
$$
$$
D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=9
$$
$$
x_1=\frac{5-\sqrt{9}}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+\sqrt{9}}{2}=4
$$
Тогда:
$$
y_1=5-1=4,\qquad y_2=5-4=1
$$
$$
(1;4),\ (4;1)
$$
$$
\begin{cases}
x-4y=2,\\
xy+2y=8
\end{cases}
$$
Из первого уравнения:
$$
x=4y+2
$$
Подставим во второе:
$$
(4y+2)y+2y=8
$$
$$
4y^2+2y+2y-8=0
$$
$$
4y^2+4y-8=0
$$
$$
y^2+y-2=0
$$
$$
D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9
$$
$$
y_1=\frac{-1-\sqrt{9}}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{-1+\sqrt{9}}{2}=1
$$
Найдём $$x$$:
$$
x_1=4\cdot(-2)+2=-6,\qquad x_2=4\cdot 1+2=6
$$
$$
(-6;-2),\ (6;1)
$$
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=8,\\
3x+y=4
\end{cases}
$$
Выразим $$y$$:
$$
y=4-3x
$$
Подставим в первое уравнение:
$$
x^2+(4-3x)^2=8
$$
$$
x^2+16-24x+9x^2-8=0
$$
$$
10x^2-24x+8=0
$$
$$
5x^2-12x+4=0
$$
$$
D=(-12)^2-4\cdot 5\cdot 4=64
$$
$$
x_1=\frac{12-\sqrt{64}}{10}=\frac{4}{10}=0{,}4,\qquad x_2=\frac{12+\sqrt{64}}{10}=2
$$
Тогда:
$$
y_1=4-3\cdot 0{,}4=2{,}8,\qquad y_2=4-3\cdot 2=-2
$$
$$
(0{,}4;2{,}8),\ (2;-2)
$$
Для уравнения $$x^2+bx+c=0$$ по теореме Виета:
$$
x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c
$$
1) Если корни $$-8$$ и $$6$$, то
$$
-8+6=-b,\qquad (-8)\cdot 6=c
$$
$$
b=2,\qquad c=-48
$$
2) Если корни $$4$$ и $$5$$, то
$$
4+5=-b,\qquad 4\cdot 5=c
$$
$$
b=-9,\qquad c=20
$$