Упр.705 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (2х — 5)(x + 2) = 18;
2) (4х — З)2 + (Зx — 1)(3x + 1) = 9;
3) (х + З)2 — (2x — 1)2 = 16;
4) (х — 6)2 — 2х(х + 3) = 30 — 12x;
5) (х + 7)(х — 8) — (4х + 1)(x — 2) = -21x;
6) (2х — 1)(2х + 1) — x(1 — х) = 2х(х + 1).
Решите уравнение:
1) 2×2 + x корень 5 — 15 = 0;
2) x2 — x(корень 6 — 1) — корень 6 = 0;
3) (x2-4)/8 — (2x+3)/3 = -1;
4) (4×2+x)/3 — (x2+17)/9 = (5x-1)/6. Чему равна сумма корней уравнения х2 + 5x — 10 = 0;
1) 5;
2) -5;
3) -10;
4) 10?

1. $$\begin{aligned}
   (2x-5)(x+2)&=18 \\
   2x^2- x-10&=18 \\
   2x^2-x-28&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-28)=1+224=225,$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 15}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=4,\quad x_2=-\frac{7}{2}.$$

2. $$\begin{aligned}
   (4x-3)^2+(3x-1)(3x+1)&=9 \\
   16x^2-24x+9+9x^2-1&=9 \\
   25x^2-24x-1&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-24)^2-4\cdot 25\cdot(-1)=576+100=676,$$
   $$x_{1,2}=\frac{24\pm 26}{50}.$$
   Тогда
   $$x_1=1,\quad x_2=-\frac{1}{25}.$$

3. $$\begin{aligned}
   (x+3)^2-(2x-1)^2&=16 \\
   \bigl((x+3)-(2x-1)\bigr)\bigl((x+3)+(2x-1)\bigr)&=16 \\
   (4-x)(3x+2)&=16 \\
   -3x^2+10x+8&=16 \\
   3x^2-10x+8&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4,$$
   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 2}{6}.$$
   Тогда
   $$x_1=2,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$

4. $$\begin{aligned}
   (x-6)^2-2x(x+3)&=30-12x \\
   x^2-12x+36-2x^2-6x&=30-12x \\
   -x^2-18x+36&=30-12x \\
   x^2+6x-6&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-6)=36+24=60,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{60}}{2}=-3\pm \sqrt{15}.$$

5. $$\begin{aligned}
   (x+7)(x-8)-(4x+1)(x-2)&=-21x \\
   x^2-x-56-(4x^2-7x-2)&=-21x \\
   -3x^2+6x-54&=0 \\
   x^2-2x+18&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 18=4-72=-68<0.$$ Действительных корней нет.

6. $$\begin{aligned}
   (2x-1)(2x+1)-x(1-x)&=2x(x+1) \\
   4x^2-1-x+x^2&=2x^2+2x \\
   3x^2-3x-1&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-3)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=9+12=21,$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{21}}{6}.$$

7. $$\begin{aligned}
   2x^2+x\sqrt{5}-15&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(\sqrt{5})^2-4\cdot 2\cdot(-15)=5+120=125=25\cdot 5,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-\sqrt{5}\pm 5\sqrt{5}}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=\sqrt{5},\quad x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{2}.$$

8. $$\begin{aligned}
   x^2-x(\sqrt{6}-1)-\sqrt{6}&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(\sqrt{6}-1)^2+4\sqrt{6}=6-2\sqrt{6}+1+4\sqrt{6}=7+2\sqrt{6}=(\sqrt{6}+1)^2,$$
   $$x_{1,2}=\frac{\sqrt{6}-1\pm (\sqrt{6}+1)}{2}.$$
   Тогда
   $$x_1=-1,\quad x_2=\sqrt{6}.$$

9. $$\begin{aligned}
   \frac{x^2-4}{8}-\frac{2x+3}{3}&=-1 \\
   3(x^2-4)-8(2x+3)&=-24 \\
   3x^2-12-16x-24&=-24 \\
   3x^2-16x-12&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-16)^2-4\cdot 3\cdot(-12)=256+144=400,$$
   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 20}{6}.$$
   Тогда
   $$x_1=6,\quad x_2=-\frac{2}{3}.$$

10. $$\begin{aligned}
    \frac{4x^2+x}{3}-\frac{x^2+17}{9}&=\frac{5x-1}{6} \\
    12(4x^2+x)-4(x^2+17)-6(5x-1)&=0 \\
    48x^2+12x-4x^2-68-30x+6&=0 \\
    44x^2-18x-62&=0 \\
    22x^2-9x-31&=0
    \end{aligned}$$
    $$D=(-9)^2-4\cdot 22\cdot(-31)=81+2728=2809=53^2,$$
    $$x_{1,2}=\frac{9\pm 53}{44}.$$
    Тогда
    $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{31}{22}=1\frac{9}{22}.$$

Ответ

1) $$x=4,\; x=-\frac{7}{2}$$;
2) $$x=1,\; x=-\frac{1}{25}$$;
3) $$x=2,\; x=\frac{4}{3}$$;
4) $$x=-3+\sqrt{15},\; x=-3-\sqrt{15}$$;
5) действительных корней нет;
6) $$x=\frac{3\pm \sqrt{21}}{6}$$;
7) $$x=\sqrt{5},\; x=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$;
8) $$x=-1,\; x=\sqrt{6}$$;
9) $$x=6,\; x=-\frac{2}{3}$$;
10) $$x=-1,\; x=\frac{31}{22}$$.