Упр.704 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Просвещение: Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого. Докажите, что из 101 кубика, которые окрашены в произвольные цвета, можно выбрать или 11 кубиков одного цвета, или 11 кубиков разных цветов.

Подробный ответ

Пусть одно число равно $$x$$, тогда другое число равно $$x+8$$. По условию их произведение равно $$84$$, значит:

$$x(x+8)=84$$

$$x^2+8x-84=0$$

Найдём корни уравнения:

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-84)=64+336=400$$

$$x=\frac{-8\pm \sqrt{400}}{2}=\frac{-8\pm 20}{2}$$

$$x_1=\frac{-8-20}{2}=-14,\qquad x_2=\frac{-8+20}{2}=6$$

Тогда вторые числа:

$$-14+8=-6,\qquad 6+8=14$$

Следовательно, искомые числа: $$-14$$ и $$-6$$ или $$6$$ и $$14$$.

Докажем утверждение про кубики. Разобьём 101 кубик по цветам. Если среди них есть 11 кубиков одного цвета, то требуемое уже доказано. Если же кубиков одного цвета не больше 10, то при 101 кубике и не более чем по 10 кубиков каждого цвета обязательно найдутся как минимум 11 кубиков разных цветов. Иначе всего можно было бы взять не более $$10\cdot 10=100$$ кубиков, что меньше 101.