Упр.700 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) (2х — 5)(x + 2) = 18;
2) (4х — З)2 + (Зx — 1)(3x + 1) = 9;
3) (х + З)2 — (2x — 1)2 = 16;
4) (х — 6)2 — 2х(х + 3) = 30 — 12x;
5) (х + 7)(х — 8) — (4х + 1)(x — 2) = -21x;
6) (2х — 1)(2х + 1) — x(1 — х) = 2х(х + 1). Имеется лом сплавов двух сортов, которые содержат 5% и 45% никеля соответственно. Сколько металлолома каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить 120 т сплава с 30-процентным содержанием никеля?

1. $$\begin{aligned}
   (2x-5)(x+2)&=18 \\
   2x^2+4x-5x-10-18&=0 \\
   2x^2-x-28&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-28)=1+224=225,$$
   $$x=\frac{1\pm 15}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=4,\quad x_2=-\frac{7}{2}.$$

2. $$\begin{aligned}
   (4x-3)^2+(3x-1)(3x+1)&=9 \\
   16x^2-24x+9+9x^2-1-9&=0 \\
   25x^2-24x-1&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-24)^2-4\cdot 25\cdot(-1)=576+100=676,$$
   $$x=\frac{24\pm 26}{50}.$$
   Тогда
   $$x_1=1,\quad x_2=-\frac{1}{25}.$$

3. $$\begin{aligned}
   (x+3)^2-(2x-1)^2&=16 \\
   x^2+6x+9-(4x^2-4x+1)&=16 \\
   -3x^2+10x-8&=0 \\
   3x^2-10x+8&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4,$$
   $$x=\frac{10\pm 2}{6}.$$
   Тогда
   $$x_1=2,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$

4. $$\begin{aligned}
   (x-6)^2-2x(x+3)&=30-12x \\
   x^2-12x+36-2x^2-6x-30+12x&=0 \\
   -x^2-6x+6&=0 \\
   x^2+6x-6&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-6)=36+24=60,$$
   $$x=\frac{-6\pm \sqrt{60}}{2}=-3\pm \sqrt{15}.$$

5. Пусть $x$ т — масса сплава первого сорта, $y$ т — масса сплава второго сорта. Тогда
   $$\begin{cases}
   x+y=120,\\
   0{,}05x+0{,}45y=0{,}3\cdot 120.
   \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $20$:
   $$\begin{cases}
   x+y=120,\\
   x+9y=720.
   \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$8y=600,\quad y=75.$$
   Тогда
   $$x=120-75=45.$$

6. $$\begin{aligned}
   (2x-1)(2x+1)-x(1-x)&=2x(x+1) \\
   4x^2-1-x+x^2&=2x^2+2x \\
   3x^2-3x-1&=0
   \end{aligned}$$
   $$D=(-3)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=9+12=21,$$
   $$x=\frac{3\pm \sqrt{21}}{6}.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{7}{2},\ 4$$
2) $$x=-\frac{1}{25},\ 1$$
3) $$x=\frac{4}{3},\ 2$$
4) $$x=-3-\sqrt{15},\ -3+\sqrt{15}$$
5) $$45\text{ т и }75\text{ т}$$
6) $$x=\frac{3-\sqrt{21}}{6},\ \frac{3+\sqrt{21}}{6}$$